Além do método de substituição e do método de eliminação, também é possível resolver sistemas de equações pelo método gráfico. Para isso, temos que representar graficamente ambas as equações lineares e encontrar o ponto de intersecção.
A seguir, veremos um breve resumo sobre o método gráfico para resolver sistemas de equações e, em seguida, veremos os exercícios resolvidos que usam esse método.
Resumo de sistemas de equações método gráfico
Um sistema de equações lineares é um sistema de duas equações com duas incógnitas que devem ser resolvidas simultaneamente.
Uma solução para um sistema de duas equações com duas variáveis é um par ordenado de números que torna ambas as equações verdadeiras.
Resolver sistemas de equações com o método gráfico
Para resolver um sistema de equações graficamente, seguimos os seguintes passos:
1. Representamos graficamente a primeira equação usando qualquer método.
Se precisar de ajuda com isso, você pode verificar nosso guia sobre como representar graficamente funções lineares.
2. Representamos graficamente a segunda equação usando o mesmo sistema de coordenadas.
3. Encontre o ponto de intersecção das retas.
Se as linhas traçadas se cruzam em um único ponto, o ponto de interseção representa a solução do sistema. Se as linhas são paralelas, elas nunca se cruzam e o sistema não tem solução. Se as linhas estiverem uma em cima da outra, temos um número infinito de soluções.
4. Verificamos a solução obtida em ambas as equações.
Exercícios resolvidos de sistemas de equações com o método gráfico
EXERCÍCIO 1
Resolva o sistema de equações graficamente: $latex \begin{cases}y=3x-2 \\ y=-x+2 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Representamos graficamente a primeira equação. A equação é escrita na forma $latex y=mx+b$, onde m é o declive e b é a interceptação y. Então, a interceptação em y é -2 e o declive é 3:
Passo 2: Para representar graficamente a segunda equação, também usamos a forma de declive-interceptação. Então, a interceptação em y é 2 e o declive é-1:
Passo 3: Para encontrar a solução, procuramos o ponto de intersecção. Vemos que as equações se cruzam no ponto (1, 1). Então, a solução é $latex x=1, ~y=1$.
Passo 4: Substituímos os valores de x=1 e y=1 em ambas as equações para verificar a resposta:
$latex y=3x-2$
$latex 1=3(1)-2$
$latex 1=1$
$latex y=-x+2$
$latex 1=-1+2$
$latex 1=1$
EXERCÍCIO 2
Resolva o sistema de equações graficamente: $latex \begin{cases}2x+y=5 \\ x-y=4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Para representar graficamente a primeira equação, a reescrevemos na forma $latex y=mx+b$:
$latex 2x+y=5$
$latex y=5-2x$
Então, a interceptação em y é 5 e o declive é -2:
Passo 2: Usamos o mesmo método da equação anterior para representar graficamente a segunda equação:
$latex x-y=4$
$latex y=-4+x$
Então, a interceptação em y é -4 e o declive é 1:
Passo 3: Neste caso, vemos que as equações se cruzam no ponto (3, -1).
Passo 4: Verificamos esta solução substituindo os valores de x=3 e y=-1, em ambas as equações:
$latex 2x+y=5$
$latex 2(3)+-1=5$
$latex 5=5$
$latex x-y=4$
$latex 3-(-1)=4$
$latex 4=4$
EXERCÍCIO 3
Resolva o sistema de equações com o método gráfico: $latex \begin{cases}2x+y=-1 \\ 4x+2y=-2 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Reescrevemos a primeira equação na forma $latex y=mx+b$:
$latex 2x+y=-1$
$latex y=-1-2x$
Aqui, a interceptação em y é -1 e o declive é -2:
Passo 2: Da mesma forma, reescrevemos a segunda equação para representar graficamente:
$latex 4x+2y=-2$
$latex y=-1-2x$
Então, a interceptação em y é -1 e o declive é -2:
Passo 3: Neste caso, vemos que as equações se sobrepõem, então temos um número infinito de soluções.
EXERCÍCIO 4
Resolva o sistema de equações com o método gráfico: $latex \begin{cases}-3x+2y=-4 \\ 2x-y=3 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Reescrevemos na forma $latex y=mx+b$ à primeira equação para representar graficamente:
$latex -3x+2y=-4$
$latex 2y=-4+3x$
$latex y=-2+\frac{3}{2}x$
Então, a interceptação em y é -2 e o declive é $latex \frac{3}{2}$:
Passo 2: Também reescrevemos a segunda equação para representá-la graficamente:
$latex 2x-y=3$
$latex y=-3+2x$
Então, a interceptação em y é -3 e o declive é 2:
Passo 3: Vemos que as equações se cruzam no ponto (2, 1).
Passo 4: Substituímos os valores de x=2 e y=1 em ambas as equações para verificar se obtivemos a resposta correta:
$latex -3x+2y=-4$
$latex -3(2)+2(1)=-4$
$latex -4=-4$
$latex 2x-y=3$
$latex 2(2)-1=3$
$latex 3=3$
EXERCÍCIO 5
Resolva o sistema de equações com o método gráfico: $latex \begin{cases}2x+3y=8 \\ x-2y=4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Reescrevemos a primeira equação na forma $latex y=mx+b$:
$latex 2x+3y=8$
$latex 3y=8-2x$
$latex y=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}x$
Então, a interceptação em y é $latex \frac{8}{3}$ e o declive é $latex -\frac{2}{3}$:
Passo 2: Reescrevemos a segunda equação da mesma maneira:
$latex x-2y=4$
$latex -2y=4-x$
$latex y=-2+\frac{1}{2}x$
Então, a interceptação em y é -2 e o declive é $latex \frac{1}{2}$:
Passo 3: Aqui vemos que o ponto de intersecção é (4, 0).
Passo 4: Verificamos esta solução substituindo os valores de x = 4 e y = 0, em ambas as equações:
$latex 2x+3y=8$
$latex 2(4)+0=8$
$latex 8=8$
$latex x-2y=4$
$latex 4-0=4$
$latex 4=4$
Exercícios de sistema de equações com o método gráfico para resolver
Resolva o sistema de equações usando o método gráfico $latex \begin{cases} -2x+3y=7 \\ 3x-y=7 \end{cases} $
Escreva a resposta na forma x=?, y=?.
Veja também
Você quer aprender mais sobre equações e sistemas de equações de primeiro grau? Olha para estas páginas:
- Resolver Sistemas de Equações do 1 Grau com Duas Variáveis
- Sistemas de equações sem solução, com infinitas soluções
- Exercicios de Sistemas de Equações do 1 Grau
- Equações do Primeiro Grau com uma Incógnita
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
