Sistemas de equações são sistemas compostos por duas ou mais equações que compartilham a mesma solução. O sistema de equações de 1 grau com duas variáveis é o sistema mais simples. Neste artigo, aprenderemos sobre esses sistemas. Começaremos por conhecer os diferentes tipos de soluções que esses sistemas podem ter.
Alem disso, aprenderemos a resolver esses sistemas de equações de três maneiras diferentes: graficamente, pelo método de substituição e pelo método de adição.
Resolver sistemas de equações graficamente
Podemos seguir os passos seguintes para resolver um sistema de equações de 1 grau com duas incógnitas graficamente:
1. Faça o gráfico da primeira equação.
Você pode usar qualquer método para representar graficamente uma linha. Se precisar, você pode dar uma olhada em nosso guia sobre como representar graficamente funções lineares.
2. Faça o gráfico da segunda equação no mesmo sistema de coordenadas que a primeira.
3. Encontre o ponto de interseção.
- Se as linhas se cruzam em apenas um lugar, então o ponto de interseção é a solução do sistema de equações.
- Se as linhas são paralelas, elas nunca se cruzam e, portanto, não há solução.
- Se as linhas estão umas sobre as outras, então há um número infinito de soluções.
4. Verifique a solução do sistema em ambas as equações.
Substitua a solução nas duas equações. Se ambas as equações são verdadeiras, então a solução é verdadeira. Se uma das equações for falsa, então esse par ordenado não é a solução correta.
EXERCÍCIO 1
Resolva o sistema de equações graficamente: $latex \begin{cases}x+y=4 \\ 2x-y=-1 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Represente graficamente a primeira equação. Podemos reescrever a equação na forma $latex y=mx+b$, onde m é o declive e b é a interceptação em y.
$latex x+y=4$
$latex y=4-x$
Então, a interceptação em y é 4 e o declive é -1:
Passo 2: Represente graficamente a segunda equação. Usamos o mesmo método da equação anterior:
$latex 2x-y=-1$
$latex y=2x+1$
Então, a interceptação em y é 1 e o declive é 2:
Passo 3: Encontre a solução. Vemos que as equações se cruzam no ponto (1, 3).
Passo 4: Podemos facilmente verificar isso, substituindo os valores de x=1 e y=3. Ambas as equações são verdadeiras:
$latex x+y=4$
$latex 1+3=4$
$latex 4=4$
$latex 2x-y=-1$
$latex 2(1)-3=-1$
$latex -1=-1$
EXERCÍCIO 2
Resolva o sistema de equações graficamente: $latex \begin{cases}x+2y=7 \\ 3x-y=7 \end{cases}$
Solução
Passo 2: Podemos reescrever a equação na forma $latex y=mx+b$, onde m e o declive é b é a interceptação em y.
$latex x+2y=7$
$latex y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$
Então, a interceptação em y é 7/2 e o declive é -1/2:
Passo 2: Represente graficamente a segunda equação. Usamos o mesmo método da equação anterior:
$latex 3x-y=7$
$latex y=3x-7$
Então, a interceptação em y é -7 e o declive é 3:
Passo 3: Vemos que as equações se cruzam no ponto (3, 2).
Passo 4: Podemos facilmente verificar isso, substituindo os valores de x=3 e y=2. Ambas as equações são verdadeiras:
$latex x+2y=7$
$latex 3+2(2)=7$
$latex 7=7$
$latex 3x-y=7$
$latex 3(3)-2=7$
$latex 7=7$
Resolver sistemas de equações com o método de substituição
Siga os passos seguintes para resolver um sistema de equações de 1 grau com duas incógnitas usando o método de substituição:
1. Simplifique se possível.
Isso inclui remover parênteses ou outros sinais de agrupamento e combinar termos semelhantes. Se tivermos frações, podemos multiplicar pelo mínimo múltiplo comum.
2. Resolver uma equação para uma variável.
Não importa qual equação escolhemos ou para qual variável resolvemos. Se uma das equações já tiver uma variável, podemos usar essa equação.
3. Substitua a equação do passo 2 na outra equação.
Certifique-se de substituir na equação que você não usou no passo 2. Isso nos dará uma equação com apenas uma variável.
4. Resolva a equação do passo 2 para a variável restante.
Se precisar de ajuda com isso, você pode dar uma olhada em nosso guia sobre como resolver equações com uma incógnita.
5. Resolva para a segunda variável.
Substitua o valor encontrado no passo 4 em qualquer equação e resolva a outra variável.
6. Verifique a solução em ambas as equações.
Substitua os valores das incógnitas em ambas as equações. Se ambas as equações forem verdadeiras, os valores são a solução correta.
EXERCÍCIO 1
Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}3x-5y=15 \\ y=2x+4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Ambas as equações já estão simplificadas.
Passo 2: Resolva uma equação para uma variável. A segunda equação já está resolvida para a variável y:
$latex y=2x+4$
Passo 3: Substituímos a expressão $latex y=2x+4$ na primeira equação:
$latex 3x-5y=15$
$latex 3x-5(2x+4)=15$
$latex 3x-10x-20=15$
Passo 4: Resolva para a variável restante:
$latex 3x-10x-20=15$
$latex -7x=35$
$latex x=-5$
Passo 5: Resolva para a segunda variável. Substituímos $latex x=-5$ na segunda equação:
$latex y=2x+4$
$latex y=-10+4$
$latex y=-6$
Passo 6: Verifique a solução em ambas as equações.
EXERCÍCIO 2
Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}x-2y=3 \\ 2x-3y=7 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Ambas as equações já estão simplificadas.
Passo 2: Resolva uma equação para uma variável. Podemos resolver a primeira equação para x:
$latex x-2y=3$
$latex x=3+2y$
Passo 3: Substituímos a expressão $latex x=3+2y$ na segunda equação:
$latex 2x-3y=7$
$latex 2(3+2y)-3y=7$
$latex 6+4y-3y=7$
Passo 4: Resolva para a variável restante:
$latex 6+4y-3y=7$
$latex y=1$
Passo 5: Resolva para a segunda variável. Substituímos $latex y=1$ na primeira equação:
$latex x-2y=3$
$latex x-2(1)=3$
$latex x=5$
Passo 6: Verifique a solução em ambas as equações.
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
Resolver sistemas de equações com o método de adição
Siga os passos seguintes para resolver um sistema de equações de 1 grau com duas incógnitas usando o método de adição:
1. Simplifique se possível e coloque as equações na forma Ax+By=C.
Isso inclui remover parênteses ou outros sinais de agrupamento e combinar termos semelhantes. Se tivermos frações, podemos multiplicar pelo mínimo múltiplo comum.
2. Multiplique uma ou ambas as equações por um número que criará coeficientes opostos em uma variável.
Vamos adicionar as equações e precisamos que uma das variáveis seja eliminada. Por exemplo, se temos 2x em uma equação e 3x na segunda, podemos multiplicar a primeira por -3 e a segunda por 2, obtendo assim -6 na primeira e 6 na segunda.
3. Adicione as equações.
Ao somar as equações, uma das variáveis será eliminada e obteremos uma equação com uma única variável.
4. Resolva a equação do passo 3 para a variável restante.
Resolva a equação resultante do passo 3 para a variável restante. Se precisar de ajuda com isso, você pode dar uma olhada em nosso guia sobre como resolver equações com uma incógnita.
5. Resolva para a segunda variável.
Substitua o valor encontrado no passo 4 em qualquer equação e resolva a outra variável.
6. Verifique a solução em ambas as equações.
Substitua os valores das incógnitas em ambas as equações. Se ambas as equações forem verdadeiras, os valores são a solução correta.
EXERCÍCIO 1
Resolva o sistema de equações usando o método de adição: $latex \begin{cases}2x+2y=10 \\ -2x+3y=5 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Ambas as equações já estão simplificadas e na forma Ax+By=C.
Passo 2: Já temos coeficientes opostos na variável x.
Passo 3: Adicione as equações.
$latex 2x+2y=10$
$latex + \hspace{1cm} -2x+3y=5$
___________________
$latex 5y=15$
Passo 4: Resolva para a variável restante:
$latex 5y=15$
$latex y=3$
Passo 5: Resolva para a segunda variável. Substituímos $latex y=3$ na primeira equação:
$latex 2x+2y=10$
$latex 2x+2(3)=10$
$latex 2x+6=10$
$latex 2x=4$
$latex x=2$
Passo 6: Verifique a solução em ambas as equações.
EXERCÍCIO 2
Resolva o sistema de equações usando o método de adição: $latex \begin{cases}2x=y+3 \\ -x+3y=11 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Ambas as equações já estão simplificadas. Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}2x-y=3 \\ -x+3y=11 \end{cases}$
Passo 2: Multiplicamos a segunda equação por 2:
$latex \begin{cases}2x-y=3 \\ -2x+6y=22 \end{cases}$
Passo 3: Adicione as equações.
$latex 2x-y=3$
$latex + \hspace{1cm} -2x+6y=22$
_______________________
$latex 5y=25$
Passo 4: Resolva para a variável restante:
$latex 5y=25$
$latex y=5$
Passo 5: Resolva para a segunda variável. Substituímos $latex y=5$ na primeira equação:
$latex 2x-y=3$
$latex 2x-5=3$
$latex 2x=8$
$latex x=4$
Passo 6: Verifique a solução em ambas as equações.
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
