Equações lineares são equações que produzem gráficos lineares, ou seja, seus gráficos são linhas retas. Exploraremos essas equações com mais detalhes a seguir. Começaremos sabendo o que são equações lineares em geral e, em seguida, examinaremos as diferentes maneiras como podem ser escritas. Exploraremos a forma declive-interceptação, a forma ponto-declive e a forma canónica.
Definição de equações lineares
As equações lineares são equações de primeira ordem. Essas equações são definidas por retas no plano cartesiano. Uma equação para uma linha reta é chamada de equação linear. Todas as variáveis em equações lineares têm uma ordem máxima de 1.
Exemplo: a equação $latex y = x + 2$ é linear:
A seguir estão exemplos de equações lineares com 1 variável, com 2 variáveis e com 3 variáveis:
EXEMPLOS
Equações lineares com uma variável:
- $latex 2x+4=17$
- $latex 3x=24$
- $latex \frac{1}{2}x+2=10$
Equações lineares com duas variáveis:
- $latex x+3y=15$
- $latex y=3x-12$
- $latex \frac{1}{3}x+2y=5$
Equações lineares com três variáveis:
- $latex x+2y-2z=10$
- $latex 2a+4b-c=8$
- $latex \frac{1}{2}x+2y=3z-4$
Formas de equações lineares
Existem várias maneiras diferentes de escrever equações lineares, mas geralmente as equações têm constantes (como 2 ou c) e devem conter apenas variáveis simples (como “x” ou “y”).
EXEMPLOS
Estas são equações lineares:
- $latex y=2x-4$
- $latex y-5=2(x-1)$
- $latex y+3x-5=0$
- $latex 3x=24$
- $latex \frac{y}{3}=12$
No entanto, lembre-se de que as equações lineares não devem conter variáveis (como “x” ou “y”) com expoentes, raízes quadradas, raízes cúbicas, etc.
EXEMPLOS
Estas não são equações lineares:
- $latex {{y}^{2}}+3=9$
- $latex {{y}^{2}}+3=9$
- $latex \frac{{{{x}^{2}}}}{4}=20$
Forma declive-interceptação
A forma de declive-interceptação é a mais comum em equações lineares. Esta forma é representada como se segue:
A linha que temos acima representa a equação $latex y=2x+1$. Nesta equação:
- o declive é $latex m = 2$.
- a interceptação em y é 1.
Declive
O declive é igual à inclinação da linha e é igual à mudança em y sobre a mudança em x. O declive pode ser avaliado da seguinte forma:
$latex m=\frac{{\left( {{{y}_{2}}-{{y}_{1}}} \right)}}{{\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)}}$
Basicamente, o declive indica a inclinação da linha no plano.
Forma ponto-declive
Outra forma comum de equações lineares é a forma ponto-declive. Nesta forma, a equação da equação linear é formada, considerando os pontos no plano cartesiano:
Um exemplo desta forma é a equação $latex y-3=\frac{1}{2}\left( {x-2} \right)$, onde temos:
- $latex {{y}_{1}}=3$
- $latex {{x}_{1}}=2$
- $latex m=\frac{1}{2}$
Forma canónica
A forma canónica de uma equação linear com duas variáveis é representada como:
$latex Ax+By+C=0$
onde temos A≠0, B≠0 e $latex x$ e $latex y$ são as variáveis.
EXEMPLOS
A equação $latex 2x+4y+5=0$ está na forma canónica e temos:
- A=2
- B=4
- C=5
Perguntas frequentes sobre equações lineares
O que são equações lineares?
Equações lineares são as equações para linhas retas. As equações para linhas no plano cartesiano são equações lineares.
Quais são as três formas principais das equações lineares?
As três formas principais de equações lineares são forma ponto-declive, forma declive-interceptação e forma canónica.
Como expressamos a forma canónica das equações lineares?
A forma padrão das equações lineares é dada por $latex Ax+By+C=0$.
Qual é a forma declive-interceptação das equações lineares?
A forma declive-interceptação é dada por $latex y=mx+b$. Onde $latex m$ é o declive e $latex b$ é a interceptação em $latex y$.
Qual é a diferença entre equações lineares e equações não lineares?
Uma equação linear corresponde a linhas retas.
Uma equação não linear não forma uma linha reta. Pode ser uma curva, oscilações ou outros.
Veja também
Você quer aprender mais sobre sistemas de equações? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
