Os sistemas de equações de 1 grau são sistemas com equações lineares. Existem vários métodos diferentes para resolver esses sistemas de equações. Neste caso, vamos nos concentrar em dois métodos, o método de eliminação e o método de substituição.
Começaremos explorando um breve resumo de como resolver sistemas de equações de 1 grau e, em seguida, examinando vários exercícios resolvidos.
ALGEBRA
Relevante para…
Praticar a resolução de exercícios de sistemas de equações de 1 grau.
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Relevante para…
Praticar a resolução de exercícios de sistemas de equações de 1 grau.
Resumo de sistemas de equações de 1 grau
Podemos resolver sistemas de equações de 1 grau com três métodos principais, com o método de eliminação, o método de substituição e o método gráfico. Aqui, vamos nos concentrar no método de eliminação e no método de substituição.
Resolução de sistemas de equações de 1 grau com o método de substituição
Podemos seguir os seguintes passos para resolver o sistema por substituição:
Passo 1: Simplifique as equações: Isso inclui remover parênteses, combinar termos semelhantes e remover frações.
Passo 2: Resolva qualquer equação para uma variável. Não importa qual equação ou variável escolhemos.
Passo 3: Substitua a expressão obtida no passo 2 na outra equação. Isso resultará em uma única equação com uma variável.
Passo 4: Resolva a equação obtida no passo 3.
Passo 5: substitua o valor do passo 4 em qualquer uma das outras equações e resolva a outra incógnita.
Resolução de sistemas de equações de 1 grau pelo método de eliminação
Usamos os seguintes passos para resolver o sistema de equações por eliminação:
Passo 1: Simplifique as equações e coloque-as na forma Ax+By=C.
Passo 2: Multiplique uma ou ambas as equações por algum número para obter coeficientes opostos para x ou para y. Precisamos eliminar uma das variáveis ao adicionar as equações. Portanto, temos que fazer com que um coeficiente seja a e o outro –a.
Passo 3: Adicione as equações. Fazendo isso, eliminaremos uma variável e teremos uma equação com uma incógnita.
Passo 4: Resolva a equação do passo 3 para a variável restante.
Passo 5: substitua o valor do passo 4 em qualquer equação e resolva para a segunda variável.
10 Exercícios de sistema de equações de 1 grau resolvidos
EXERCÍCIO 1
Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Não temos nada para simplificar.
Passo 2: Podemos resolver a primeira equação para x:
$latex x+2y=10$
$latex x=10-2y$
Passo 3: Substituímos a expressão $latex x=10-2y$ na segunda equação:
$latex 2x-y=5$
$latex 2(10-2y)-y=5$
$latex 20-4y-y=5$
Passo 4: Resolva para y:
$latex 20-4y-y=5$
$latex -5y=-15$
$latex y=3$
Passo 5: Substituímos $latex y=3$ na primeira equação:
$latex x+2y=10$
$latex x+2(3)=10$
$latex x=4$
EXERCÍCIO 2
Resolva o sistema de equações usando o método de eliminação: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Não temos nada para simplificar e ambas as equações já estão na forma Ax+By=C.
Passo 2: Já temos coeficientes opostos na variável y.
Passo 3: Adicionamos as equações:
$latex x-y=3$
$latex + \hspace{1cm} 2x+y=12$
___________________
$latex 3x=15$
Passo 4: Resolvemos para x:
$latex 3x=15$
$latex x=5$
Passo 5: Substituímos $latex x=5$ na segunda equação:
$latex 2x+y=12$
$latex 2(5)+y=12$
$latex 10+y=12$
$latex y=2$
EXERCÍCIO 3
Resolva o seguinte usando o método de substituição: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Não temos nada para simplificar.
Passo 2: Resolvemos a primeira equação para y:
$latex -2x-y=1$
$latex -y=1+2x$
$latex y=-1-2x$
Passo 3: Substituímos a expressão $latex y=-1-2x$ na segunda equação:
$latex 3x+4y=6$
$latex 3x+4(-1-2x)=6$
$latex 3x-4-8x=6$
Passo 4: Resolva para x:
$latex 3x-4-8x=6$
$latex -5x=10$
$latex x=-2$
Passo 5: Substituímos $latex x=-2$ na primeira equação:
$latex -2x-y=1$
$latex -2(-2)-y=1$
$latex 4-y=1$
$latex -y=-3$
$latex y=3$
EXERCÍCIO 4
Resolva o sistema de equações usando o método de eliminação: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$
Passo 2: Multiplicamos a primeira equação por 2 para obter coeficientes opostos em y:
$latex \begin{cases}-4x+2y=14 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$
Passo 3: Adicionamos as equações:
$latex -4x+2y=14$
$latex + \hspace{1cm} -6x-2y=-4$
___________________
$latex -10x=10$
Passo 4: Resolvemos para x:
$latex -10x=10$
$latex x=-1$
Passo 5: Substituímos $latex x=-1$ na primeira equação:
$latex y=2x+7$
$latex y=2(-1)+7$
$latex y=5$
EXERCÍCIO 5
Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Simplificamos a primeira equação:
$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Passo 2: Resolvemos a primeira equação para y:
$latex 4x-8+y=3$
$latex y=-4x+11$
Passo 3: Substituímos a expressão $latex y=-4x+11$ na segunda equação:
$latex -x+2y=4$
$latex -x+2(-4x+11)=4$
$latex -x-8x+22=4$
Passo 4: Resolvemos para x:
$latex -x-8x+22=4$
$latex -9x=-18$
$latex x=2$
Passo 5: Substituímos $latex x=2$ na segunda equação:
$latex -x+2y=4$
$latex -2+2y=4$
$latex 2y=6$
$latex y=3$
EXERCÍCIO 6
Resolva o seguinte usando o método eliminação: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$
Passo 2: Multiplicamos a segunda equação por 2 para obter coeficientes opostos na x:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$
Passo 3: Adicionamos as equações:
$latex 2x-3y=-14$
$latex + \hspace{1cm} -2x+4y=16$
___________________
$latex y=2$
Passo 4: Já obtivemos o valor de y:
$latex y=2$
Passo 5: Substituímos $latex y=2$ na primeira equação:
$latex 2x=3y-14$
$latex 2x=3(2)-14$
$latex 2x=-8$
$latex x=-4$
EXERCÍCIO 7
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$
Solução
Vamos resolver por substituição. Então, resolvendo a primeira equação para x, temos:
$latex 2x-3y=7$
$latex 2x=3y+7$
$latex x=\frac{3y+7}{2}$
Usando a expressão $latex x=\frac{3y+7}{2}$ na segunda equação, temos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$
$latex 3y+7+3y=1$
Resolvendo a equação para y, temos:
$latex 3y+7+3y=1$
$latex 6y=-6$
$latex y=-1$
Usando o valor y=-1 na segunda equação, temos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2x+3(-1)=1$
$latex 2x-3=1$
$latex 2x=4$
$latex x=2$
A solução para o sistema é $latex x=2,~~y=-1$.
EXERCÍCIO 8
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$
Solução
Vamos resolver por eliminação. Então, multiplicamos a segunda equação por -1 para obter coeficientes opostos em x:
$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$
Somando as equações, temos:
$latex 2x-7y=1$
$latex + \hspace{1cm} -2x-3y=-11$
___________________
$latex -10y=-10$
Resolvendo para y, temos:
$latex y=1$
Usando o valor y=1 na primeira equação, temos:
$latex 2x-7y=1$
$latex 2x-7(1)=1$
$latex 2x=8$
$latex x=4$
A solução é $latex x=4,~~y=1$.
EXERCÍCIO 9
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$
Solução
Podemos começar simplificando a segunda equação dividindo-a por 2:
$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$
Agora, vamos resolver por substituição. Então, resolvemos a segunda equação para x e temos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x=2y+1$
$latex x=\frac{2y+1}{3}$
Usando $latex x=\frac{2y+1}{3}$ na primeira equação, temos:
$latex 3x-4y=5$
$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$
$latex 2y+1-4y=5$
Resolvendo a equação para y, temos:
$latex 2y+1-4y=5$
$latex -2y=4$
$latex y=-2$
Usando o valor y=-2 na segunda equação, temos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x-2(-2)=1$
$latex 3x+4=1$
$latex 3x=-3$
$latex x=-1$
A solução para o sistema é $latex x=-1,~~y=-2$.
EXERCÍCIO 10
Encontre a solução para o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Solução
Vamos resolver por eliminação, já que temos coeficientes opostos em y:
$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Somando as equações, temos:
$latex 3x-y=1$
$latex + \hspace{1cm} 5x+y=7$
___________________
$latex 8x=8$
Resolvendo a equação para x, temos:
$latex x=1$
Usando o valor x=1 na segunda equação, temos:
$latex 5x+y=7$
$latex 5(1)+y=7$
$latex y=2$
A solução é $latex x=1,~~y=2$.
Exercícios de sistemas de equações de 1 grau para resolver
Resolva o sistema de equações $latex \begin{cases} -2x+3y=7 \\ 3x-y=7 \end{cases} $
Escreva a resposta na forma x=?, y=?.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
