Uma equação quadrática é uma equação algébrica do segundo grau que tem a forma ax²+bx+c=0. Podemos usar vários métodos para resolver equações quadráticas. Dependendo do tipo de equação que temos, alguns métodos serão mais fáceis que outros. Alguns dos métodos mais importantes incluem completar o quadrado, usar fatoração ou usar a fórmula de Bhaskara.
A seguir, aprenderemos vários métodos para resolver equações do segundo grau passo a passo. Em seguida, aplicaremos esses métodos para resolver alguns exercícios práticos.
- Passos para resolver equações quadráticas incompletas
- Passos para resolver equações quadráticas por fatoração
- Passos para resolver equações quadráticas completando o quadrado
- Passos para resolver equações quadráticas com a fórmula de Bhaskara
- Exercícios resolvidos de equações quadráticas
- Exercícios de equações quadráticas para resolver
- Veja também
Passos para resolver equações quadráticas incompletas
Equações quadráticas incompletas são equações que têm um termo ausente na forma $latex ax^2+bx+c$. Dependendo do termo que falta, temos dois tipos de equações quadráticas incompletas.
Resolver equações quadráticas que não têm o termo bx
Equações quadráticas que não têm o termo bx têm a forma $latex ax^2+c=0$. Para resolver essas equações, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: Simplifique a equação se possível.
Passo 2: Escreva a equação da seguinte forma:
$latex ax^2=-c$
Passo 3: Limpe x² completamente. Para isso, dividimos a equação por a. Muitas vezes, o valor de a é 1, então não precisamos aplicar esta etapa.
$latex x^2=-\frac{c}{a}$
Passo 4: Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
$latex x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$
Nota: As soluções positivas e negativas devem ser consideradas porque $latex (-a)^2=a^2$.
Resolver equações quadráticas que não têm o termo c
Equações quadráticas incompletas que não possuem um termo c têm a forma $latex ax^2+bx=0$. Para resolver essas equações, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Simplifique a equação se possível.
Passo 2: Fatore o x do lado esquerdo da equação:
$latex x(ax+b)=0$
Passo 3: Forme uma equação com cada fator:
$latex x=0~~$ e $latex ~~ax+b=0$
Passo 4: Resolva as equações:
$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=-\frac{b}{a}$
Nota: Uma das soluções será sempre $latex x=0$
Passos para resolver equações quadráticas por fatoração
A fatoração de uma equação quadrática consiste em encontrar dois fatores da equação para escrevê-la na forma $latex (x+p)(x+q)=0$. Desta forma, podemos identificar facilmente as raízes da equação quadrática.
Para resolver equações quadráticas por fatoração, temos que seguir estes passos:
Passo 1: Simplifique se possível e escreva a equação na forma $latex ax^2+bx+c=0$.
Passo 2: Use qualquer método para fatorar a equação quadrática e escreva-a na forma $latex (x+p)(x+q)=0$.
Passo 3: Obtenha uma equação com cada fator igualando-o a zero. Por exemplo $látex x+p=0$.
Passo 4: Resolva ambas as equações lineares para os fatores.
Lembre-se que para fatorar uma equação quadrática temos que transformar a equação da forma $latex x^2+bx+c=0$ para a forma $latex (x+p)(x+q)=0$. Para conseguir isso, temos que encontrar dois fatores que, quando multiplicados, resultam na equação quadrática original.
Por exemplo, a equação $latex x^2+2x-3=0$ pode ser fatorada na forma $latex (x+3)(x-2)=0$, pois a multiplicação dos fatores nos dá a equação original .
Você pode revisar os métodos de fatoração de equações quadráticas visitando nosso artigo: Fatoração de Equações Quadráticas.
Passos para resolver equações quadráticas completando o quadrado
Completar o quadrado é uma técnica de fatoração que envolve transformar uma equação quadrática da forma $latex ax^2+bx+c=0$ para a forma $latex (x-h)^2+k=0$. Essa técnica nos permite resolver equações que não podem ser facilmente fatoradas.
Passo 1: Simplifique e escreva a equação na forma $latex ax^2+bx+c=0$.
Passo 2: Se o coeficiente a for diferente de 1, dividimos toda a equação por a para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
$latex x^2+bx+c=0$
Passo 3: Divida o coeficiente b por 2:
$$\left(\frac{b}{2}\right)$$
Passo 4: Eleve a expressão do passo 3:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$
Passo 5: Adicione e subtraia a expressão obtida no passo 4 à equação obtida no passo 2:
$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Passo 6: Fatore a equação usando a identidade $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Passo 7: Simplifique para obter uma equação da seguinte forma:
$latex (x-h)^2+k=0$
Passo 8: Reorganize a equação da seguinte forma:
$latex (x-h)^2=-k$
Passo 9: Extraia a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$latex x-h=\sqrt{-k}$
Passo 10: Resolva para x:
$latex x=h\pm \sqrt{-k}$
Passos para resolver equações quadráticas com a fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara nos permite encontrar ambas as soluções de qualquer equação quadrática. Podemos usar este método quando não for possível resolver equações quadráticas por nenhum outro método.
Para resolver equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara, podemos seguir os passos abaixo:
Passo 1: Simplifique e escreva a equação na forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$.
Passo 2: Substitua os coeficientes a, b e c na fórmula quadrática:
| $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ |
Passo 3: Use o sinal ±. O resultado da raiz quadrada deve ser somado e subtraído separadamente para obter ambas as soluções da equação.
Uma equação quadrática pode ter duas raízes reais, uma raiz real repetida ou nenhuma raiz real. Isso depende do discriminante da equação, que é o valor que vai dentro do sinal da raiz quadrada, ou seja, $latex b^2-4ac$.
Então, dependendo do valor do discriminante, temos o seguinte:
- Quando $latex b^2-4ac>0$, a equação tem duas raízes reais.
- Quando $latex b^2-4ac<0$, a equação não tem raízes reais.
- Quando $latex b^2-4ac=0$, a equação tem uma raiz repetida.
Se o valor dentro da raiz quadrada for positivo, teremos duas raízes reais. Se esse valor for negativo, não teremos raízes reais (mas teremos raízes imaginárias ou complexas). Se esse valor for igual a zero, temos uma única raiz.
Para saber como derivar a fórmula de Bhaskara, você pode visitar nosso artigo Fórmula de Bhaskara – Derivação.
Exercícios resolvidos de equações quadráticas
Os exercícios a seguir são resolvidos usando os métodos vistos acima. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver os exercícios você mesmo antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre as soluções da equação $latex x^2-36=0$.
Solução
Esta equação é uma equação quadrática incompleta que não tem o termo bx. Então, podemos resolvê-lo resolvendo para o termo x² e tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
$latex x^2-36=0$
$latex x^2=36$
$latex x=\pm\sqrt{36}$
$latex x=\pm 6$
As soluções da equação são $latex x=6$ e $latex x=-6$.
EXERCÍCIO 2
Encontre as soluções da equação $latex 2x^2-9x=0$.
Solução
Esta equação é uma equação quadrática incompleta que não tem o termo c. Podemos resolvê-la fatorando o x e formando uma equação com cada fator:
$latex 2x^2-9x=0$
$latex x(2x-9)=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~2x-9=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x=\frac{9}{2}$
As soluções da equação são $latex x=0$ e $latex x=\frac{9}{2}$
EXERCÍCIO 3
Aplique o método de fatoração para resolver a equação $latex x^2+2x-15=0$.
Solução
Podemos fatorar a equação da seguinte forma:
$latex x^2+2x-15=0$
$latex (x+5)(x-3)=0$
Formando uma equação com cada fator e resolvendo, temos:
$latex x+5=0~~$ ou $latex ~~x-3=0$
$latex x=-5~~$ ou $latex ~~x=3$
As soluções da equação são $latex x=-5$ e $latex x=3$.
EXERCÍCIO 4
Encontre as soluções da equação $latex 2x^2-3x-20=0$ usando o método de fatoração.
Solução
Fatorando o lado esquerdo da equação, temos:
$latex 2x^2-3x-20=0$
$latex (2x+5)(x-4)=0$
Formando uma equação com cada fator e resolvendo, temos:
$latex 2x+5=0~~$ ou $latex ~~x-4=0$
$latex x=-\frac{5}{2}~~$ ou $latex ~~x=4$
As soluções da equação são $latex x=-\frac{5}{2}$ e $latex x=4$.
EXERCÍCIO 5
Resolva a equação $latex x^2-3x+1=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
O coeficiente b desta equação quadrática é -3. Então temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$
Adicionando e subtraindo esta expressão à equação quadrática original, temos:
$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$
Agora, podemos completar o quadrado e simplificar:
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$
Reorganizamos a equação da seguinte forma:
$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
EXERCÍCIO 6
Resolva a equação $latex 2x^2+8x-10=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Neste caso, temos que começar dividindo toda a equação por 2 para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
⇒ $latex x^2+4x-5=0$
O coeficiente b da equação quadrática simplificada é igual a 4. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Agora, vamos adicionar e subtrair esse valor da equação para obter:
$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$
Quando completamos o quadrado e simplificamos, temos:
$latex = (x+2)^2-4-5$
$latex = (x+2)^2-9$
Agora, reorganizamos a equação da seguinte forma:
⇒ $latex (x+2)^2=9$
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
⇒ $latex x+2=\pm 3$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=1$, $latex x=-5$
EXERCÍCIO 7
Encontre as soluções para a equação $latex 3x^2+x-3=0$ usando a fórmula de Bhaskara. Use duas casas decimais.
Solução
Podemos identificar os valores $latex a=3$, $latex b=1$, e $latex c=-3$. Então, substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(1)\pm \sqrt{( 1)^2-4(3)(-3)}}{2(3)}$$
$$=\frac{-1\pm \sqrt{1+36}}{6}$$
$$=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$$
$$x=-1,18\text{ ou }0,85$$
As soluções da equação são $latex x=-1,18$ e $latex x=0,85$.
Exercícios de equações quadráticas para resolver
Use os métodos estudados acima para resolver as seguintes equações quadráticas.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
