Uma maneira fácil de resolver equações quadráticas é por meio da fatoração. No entanto, muitas das equações quadráticas não podem ser fatoradas facilmente. Nesses casos, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver qualquer equação quadrática.
Neste artigo, aprenderemos como derivar a fórmula de Bhaskara e usá-la para resolver equações.
Como derivar a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$ é derivada usando passos semelhantes às que usamos para completar o quadrado. Esta fórmula leva em consideração o fato de que qualquer equação da forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ pode ser resolvida para encontrar suas raízes. As raízes da equação são pontos onde o gráfico da equação cruza o eixo x.
Então, para encontrar as raízes da equação $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, vamos usar as etapas usadas para completar o quadrado para obter a fórmula de Bhaskara:
Passo 1: Escrevemos a equação na forma geral $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, onde a, b, e c são números reais e a≠0.
Passo 2: Movemos a constante c para a direita da equação:
$latex a{{x}^2}+bx+c-c=0-c$
$latex a{{x}^2}+bx=-c$
Passo 3: Dividimos toda a equação pelo coeficiente a:
$latex \frac{1}{a}\left( {a{{x}^{2}}+bx=-c} \right)$
$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
Passo 4: Identificamos o coeficiente $latex \frac{b}{a}$, dividimos por 2, elevamos ao quadrado e simplificamos:
$latex {{\left( {\frac{{\frac{b}{a}}}{2}} \right)}^{2}}={{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}=\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$
Passo 5: Adicionamos o resultado do passo 4 a ambos os lados da equação:
$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=-\frac{c}{a}+\frac{b}{{4{{a}^{2}}}}$
Passo 6: Simplificamos o lado direito da equação:
$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=-\frac{c}{a}\left( {\frac{{4a}}{{4a}}} \right)+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$
$latex =-\frac{{4ac}}{{4{{a}^{2}}}}+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$
$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}$
Passo 7: Formamos o quadrado do binômio na expressão à esquerda:
$latex {{\left( {x+\frac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}$
Passo 8: Pegamos a raiz quadrada de ambos os lados e simplificamos sem esquecer o sinal ± no lado direito:
$latex x+\frac{b}{{2a}}=\pm \sqrt{{\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}}}$
Passo 9: Isolamos o x à esquerda e simplificamos:
$latex x+\frac{b}{{2a}}-\frac{b}{{2a}}=\pm \frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}-\frac{b}{{2a}}$
$latex x=-\frac{b}{{2a}}\pm \frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
Como resolver equações quadráticas com a fórmula de Bhaskara?
Para resolver equações quadráticas com a fórmula de Bhaskara, temos que começar organizando a equação na forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$. Depois de escrever a equação dessa forma, simplesmente inserimos os coeficientes a, b e c na fórmula de Bhaskara:
$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
Algo importante que não devemos esquecer é o sinal ± já que assim obteremos ambas as soluções da equação quadrática.
EXERCÍCIO 1
Resolva a equação $latex {{x}^2}+3x-4=0$.
Solução: Usando $latex a=1$, $latex b=3$ e $latex c=-4$, temos:
$latex x=\frac{{-\left( 3 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 3 \right)}}^{2}}-4\left( 1 \right)\left( {-4} \right)}}}}{{2\left( 1 \right)}}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{9+16}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{25}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm 5}}{2}$
$latex =\frac{{-3-5}}{2},~~\frac{{-3+5}}{2}$
$latex =\frac{{-8}}{2},~\frac{2}{2}=-4,~1$
Então, as soluções são $latex x=-4$ e $latex x=1$.
EXERCÍCIO 2
Resolva a equação $latex 9{{x}^2}+12x+4=0$.
Solução: Usando $latex a=9$, $latex b=12$ e $latex c=4$ com a fórmula de Bhaskara, temos:
$latex x=\frac{{-\left( 12 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 12 \right)}}^{2}}-4\left( 9 \right)\left( {4} \right)}}}}{{2\left( 9 \right)}}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{144-144}}}}{18}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{0}}}}{18}$
$latex =\frac{{-12\pm 0}}{18}$
$latex =\frac{{-12}}{18}=-\frac{{2}}{3}$
Nesse caso, obtivemos um zero na raiz quadrada, portanto, não obtemos nenhuma alteração ao adicionar ou subtrair zero. Então a única solução é $latex x=-\frac{{2}}{3}$.
EXERCÍCIO 3
Resolva a equação $latex 3{{x}^2}+4x+2=0$.
Solução: Usando $latex a=3$, $latex b=4$ y $latex c=2$ com a fórmula de Bhaskara, temos:
$latex x=\frac{{-\left( 4 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 4 \right)}}^{2}}-4\left( 3 \right)\left( {2} \right)}}}}{{2\left( 3 \right)}}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{16-24}}}}{6}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-8}}}}{6}$
Podemos ver que temos um número negativo dentro da raiz quadrada. Isso não tem solução se estivermos restritos a números reais. Se você ainda não aprendeu sobre números complexos, então pararíamos aqui e concluiríamos que essa equação “não tem solução”. No entanto, isso pode ser resolvido com o conhecimento de números complexos:
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-8}}}}{6}=\frac{{-4\pm 2\sqrt{{-2}}}}{6}$
$latex =\frac{{-2\pm \sqrt{{2}}i}}{3}$
$latex =-\frac{2}{3}\pm \frac{{\sqrt{2}}}{3}i$
Então, dependendo se consideramos apenas números reais ou também consideramos números complexos, temos as soluções:
Apenas números reais: não há solução.
Números complexos: a solução é $latex =-\frac{2}{3}\pm \frac{{\sqrt{2}}}{3}i$.
Exercícios para resolver
Veja também
Você quer aprender mais sobre fatoração de polinômios? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
