A fatoração polinomial nos ajuda a determinar os zeros ou soluções de uma função. No entanto, a fatoração de polinômios de grau 3 pode se tornar mais tediosa. Em alguns casos, podemos usar o agrupamento para simplificar o processo de fatoração. Em outros casos, também podemos identificar diferenças ou somas de cubos e usar uma fórmula. Veremos ambos os casos com exemplos.
Fatorar polinômios de grau 3 por agrupamento
Os métodos de agrupamento podem simplificar o processo de fatoração de polinômios complexos. Analisando o polinômio, podemos considerar se a fatoração por agrupamento é viável.
Se o polinômio estiver em uma forma em que possamos remover o maior fator comum dos dois primeiros termos e dos dois últimos termos para revelar outro fator comum, podemos usar o método de agrupamento seguindo estos passos:
Passo 1: Agrupe o polinômio em duas partes. Ao agrupar o polinômio em duas partes, podemos manipular essas partes individualmente.
Por exemplo, se quisermos fatorar o polinômio $latex {{x}^3}+2{{x}^2} -4x-8$, podemos agrupá-lo em $latex ({{x}^3}+2{{x}^2})$ e $latex (-4x-8)$.
Passo 2: Encontre o fator comum em cada parte.
Na parte $latex ({{x}^3}+2{{x}^2})$, vemos que $latex {{x}^2}$ é comum.
Na parte $latex (-4x-8)$, vemos que -4 é comum.
Passo 3: Fatoramos o fator comum de ambos os termos.
Fatoramos o $latex {{x}^2}$ da primeira parte para obter $latex {{x}^2}(x+2)$.
Fatoramos o -4 da segunda parte para obter $latex -4(x+2)$.
Passo 4: Se cada um dos dois termos contém o mesmo fator, podemos combiná-los.
Isso resulta em $latex (x + 2)({{x}^2} -4)$.
Passo 5: Se possível, aplique a diferença de quadrados.
Neste caso, podemos aplicar a diferença de quadrados na expressão $latex ({{x}^2} -4)$ para obter $latex (x+2)(x+2)(x-2)$.
Já obtivemos a expressão fatorada.
EXEMPLO 1
Fatore o polinômio $latex {{x}^3}-{{x}^2}-4x+4$.
Solução: Quando removemos o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos, obtemos o seguinte:
$latex {{x}^2}(x-1)-4(x-1)$
Agora podemos fatorar o $latex (x-1)$ de cada parte para obter:
$latex ({{x}^2}-4)(x-1)$
Aplicando a diferença de quadrados, obtemos:
$latex (x+2)(x-2)(x-1)$
EXEMPLO 2
Fatore o polinômio $latex 45{{x}^3}+18{{x}^2}-5x-2$.
Solução: Podemos agrupar e fatorar como segue:
$latex (45{{x}^3}+18{{x}^2})-(5x+2)$
$latex 9{{x}^2}(5x+2)-1(5x+2)$
$latex (9{{x}^2}-1)(5x+2)$
Podemos aplicar a diferença de quadrados ao primeiro fator:
$latex (3x+1)(3x-1)(5x+2)$
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
Fatorar diferenças de cubos
Se o polinômio tiver apenas dois termos, cada um com um cubo perfeito, podemos fatorá-lo com base em fórmulas cúbicas conhecidas.
Uma expressão da forma $latex {{a}^3}-{{b}^3}$ é chamada de diferença de cubos. A forma fatorada de $latex {{a}^3}-{{b}^3}$ é $latex (a-b)({{a}^2}+ab+{{b}^2})$. Podemos verificar isso da seguinte maneira:
$latex (a-b)({{a}^2}+ab+{{b}^2})$
$latex ={{a}^3}-{{a}^2}b+{{a}^2}b-a{{b}^2}+a{{b}^2}-{{b}^3}$
$latex {{a}^3}-{{b}^3}$
EXEMPLO
Fatore o polinômio $latex 8{{x}^3}-125$.
Solução: Neste caso temos $latex a=2x$ e $latex b=5$, então a forma fatorada é:
$latex (2x-5)(4{{x}^2}+10x+25)$
Experimente você mesmo – Resolva o exercício
Fatorar somas de cubos
Uma expressão da forma $latex {{a}^3}+{{b}^3}$ é chamada de soma de cubos. A forma fatorada de $latex {{a}^3}+{{b}^3}$ é $latex (a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$. Podemos verificar isso da seguinte maneira:
$latex (a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$
$latex ={{a}^3}+{{a}^2}b-{{a}^2}b-a{{b}^2}+a{{b}^2}+{{b}^3})$
$latex ={{a}^3}+{{b}^3}$
EXEMPLO
Fatore o polinômio $latex 64{{x}^3}+125$.
Solução: Neste caso temos $latex a=4x$ e $latex b=5$, então a forma fatorada é:
$latex (4x+5)(16{{x}^2}-20x+25)$
Experimente você mesmo – Resolva o exercício
Como resolver um polinômio de grau 3?
Para resolver um polinômio de grau 3, devemos começar fatorando o polinômio com qualquer um dos métodos de fatoração vistos acima. Se temos uma soma de cubos perfeitos, usamos a fórmula $latex {{a}^3}+{{b}^3}=(a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$.
Se temos uma diferença de cubos perfeitos, usamos a fórmula $latex a^3-{{b}^3}=(a-b)({{a}^2}+ab+{{b}^2})$. Em outros casos, podemos usar o método de agrupamento.
Após obter os fatores dos polinômios, podemos definir cada fator igual a zero e resolver individualmente. Por exemplo, em um exemplo que vimos anteriormente, descobrimos que a fatoração de $latex {{x}^3}-{{x}^2}-4x+4$ é $latex (x+2)(x-2)(x-1)$.
Assim, igualando cada um desses fatores a zero, temos:
$latex (x+2)=0$ ⇒ $latex x=-2$
$latex (x-2)=0$ ⇒ $latex x=2$
$latex (x-1)=0$ ⇒ $latex x=1$
Então, as raízes do polinômio são $latex x=-2, x=2, x=1$.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
