A fatoração de polinômios de grau 2 consiste em decompor a equação quadrática para formar um produto de seus fatores. Podemos considerar a fatoração como o processo reverso da distribuição de multiplicação. Veremos dois casos de fatoração de polinômios de segundo grau: quando o coeficiente líder é 1 e quando o coeficiente líder é maior que 1.
Como fatorar polinômios de grau 2?
Para equações quadráticas do tipo $latex a{{x}^2}+bc+c=0$, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Expanda a expressão e elimine todas as frações, se necessário.
Passo 2: Mova todos os termos para o lado esquerdo do sinal de igual.
Passo 3: Fatorare a equação separando o termo do meio.
Passo 4: Resolva a equação linear para cada fator.
EXEMPLO 1
Resolva a equação $latex 2(x^2+1)=5x$.
Solução: Começamos expandindo e movendo todos os termos para a esquerda do sinal de igual:
$latex 2(x^2+1)=5x$
⇒ $latex 2x^2+2=5x$
⇒ $latex 2x^2-5x-2=0$
Em seguida, separamos o termo do meio para fatorar:
⇒ $latex 2x^2-4x-x-2=0$
⇒ $latex (x-2)(2x-1)=0$
Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:
⇒ $latex (x-2)=0$ e $latex (2x-1)=0$
⇒ $latex x=2$ e $latex x=\frac{1}{2}$
EXEMPLO 2
Resolva a equação $latex 3x^2-8x-5=0$.
Solução: Neste caso, não temos nada para expandir e todos os termos já estão à esquerda, então começamos separando os termos do meio e fatorando:
$latex 3x^2-8x-5=0$
⇒ $latex 3x(x-3)+1(x-3)=0$
⇒ $latex (3x+1)(x-3)=0$
Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:
⇒ $latex (3x+1)=0$ e $latex (x-3)=0$
⇒ $latex x=-\frac{1}{3}$ e $latex x=3$
EXEMPLO 3
Resolva a equação $latex (2x-3)^2=25$.
Solução: Começamos expandindo a equação para obter:
$latex 4x^2-12x+9-25=0$
⇒ $latex 4{{x}^2}-12x-16=0$
Agora, podemos dividir a expressão inteira por 4 e fatorar:
⇒ $latex {{x}^2}-3x-4=0$
⇒ $latex (x-4)(x+1)=0$
Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:
⇒ $latex (x-4)=0$ e $latex (x+1)=0$
⇒ $latex x=4$ e $latex x=-1$
Existem vários métodos para fatorar polinômios quadráticos. Nossa abordagem aqui será fatorar polinômios quadráticos nos quais o coeficiente de x² é 1 ou maior que 1.
Portanto, usaremos tentativa e erro para obter os fatores corretos para fatorar as equações quadráticas.
Fatore polinômios de grau 2 quando o coeficiente de x² for igual a 1
Para fatorar uma equação quadrática da forma $latex {{x}^2}+bx+c$, onde o coeficiente líder é 1, precisamos identificar dois números de modo que seu produto seja igual a c e sua soma seja igual a b.
Caso 1: Quando b e c são ambos positivos
EXEMPLO 1
Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+5x+6=0$.
Solução: Listamos os fatores de 6: 1×6, 2×3.
Agora identificamos os fatores com um produto de 6 e uma soma de 5:
1+6≠5
2+3=5
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$(x+2)(x+3)={{x}^2}+2x+3x+6$$
$latex ={{x}^2}+5x+6$
Então, a equação fatorada é:
$latex (x+2)(x+3)=0$
Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:
⇒ $latex (x+2)=0$ e $latex (x+3)=0$
⇒ $latex x=-2$ e $latex x=-3$
EXEMPLO 2
Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+8x+16=0$.
Solução: Identificamos os fatores que produzem um produto de 16 e uma soma de 8:
4×4=16 e 4+4=8
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$(x+4)(x+4)={{x}^2}+4x+4x+16$$
$latex ={{x}^2}+8x+16$
A equação fatorada é:
$latex (x+4)(x+4)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (x+4)=0$ e $latex (x+4)=0$
⇒ $latex x=-4$
Caso 2: Quando b é positivo e c é negativo
EXEMPLO
Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+4x-5=0$.
Solução: Começamos escrevendo os fatores de -5: -1×5, 1×-5.
Identificamos os fatores que produzem um produto de -5 e uma soma de 4:
-1+5=4
1-5≠4
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$(x-1)(x+5)={{x}^2}-x+5x+-5$$
$latex ={{x}^2}+4x-5$
A equação fatorada é:
$latex (x-1)(x+5)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (x-1)=0$ e $latex (x+5)=0$
⇒ $latex x=1$ e $latex x=-5$
Caso 3: Quando b e c são negativos
EXEMPLO
Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}-2x-8=0$.
Solução: Começamos escrevendo os fatores de -8: -1×8, 1×-8, -2×4, 2×-4.
Identificamos os fatores que produzem um produto de -8 e uma soma de -2:
2-4=-2
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$(x+2)(x-4)={{x}^2}+2x-4x-8$$
$latex ={{x}^2}-2x-8$
A equação fatorada é:
$latex (x+2)(x-4)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (x+2)=0$ e $latex (x-4)=0$
⇒ $latex x=-2$ e $latex x=4$
Caso 4: Quando b é negativo e c é positivo
EXEMPLO
Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}-7x+10=0$.
Solução: Começamos escrevendo os fatores de 10: -1×-10, -2×-5.
Identificamos os fatores que produzem um produto de 10 e uma soma de -7:
-2-5=-7
-1-10≠-7
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$(x-2)(x-5)={{x}^2}-2x-5x+10$$
$latex ={{x}^2}-7x+10$
A equação fatorada é:
$latex (x-2)(x-5)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (x-2)=0$ e $latex (x-5)=0$
⇒ $latex x=2$ e $latex x=5$
Fatore polinômios de grau 2 quando o coeficiente de x² for maior que 1
Em muitos casos, o coeficiente líder será diferente de 1, portanto, não seremos capazes de fatorar essas equações quadráticas com os métodos comuns que acabamos de ver. Portanto, devemos levar em consideração o coeficiente de $latex {{x}^2}$ e os fatores de c para encontrar números que têm uma soma igual a b.
EXEMPLO 1
Fatore e resolva a equação $latex 2{{x}^2}-14x+20=0$.
Solução: Nesse caso, começamos procurando se temos fatores comuns na expressão. Aqui, podemos extrair os 2:
⇒ $latex 2({{x}^2}-7x+10)=0$
Agora, podemos encontrar os fatores de $latex ({{x}^2}-7x+10)$. Portanto, escrevemos os fatores de 10: -1×-10 , -2×-5.
Identificamos os fatores que produzem uma soma de -7:
-2-5=-7
-1-10≠-7
Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:
$$2(x-2)(x-5)=2({{x}^2}-2x-5x+10)$$
$latex =2({{x}^2}-7x+10)$
$latex =2{{x}^2}-14x+20$
A equação fatorada é:
$latex 2(x-2)(x-5)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (x-2)=0$ e $latex (x-5)=0$
⇒ $latex x=2$ e $latex x=5$
EXEMPLO 2
Fatore e resolva a equação $latex 7{{x}^2}+18x+11=0$.
Solução: Escrevemos os fatores de 7 e 11:
1×7=7
1×11=11
Aplicamos a propriedade distributiva para verificar os fatores:
$$(7x+1)(x+11)\ne 7{{x}^2}+18x+11$$
$$(7x+11)(x+1)=7{{x}^2}+18x+11$$
A equação fatorada é:
$latex (7x+11)(x+1)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (7x+11)=0$ e $latex (x+1)=0$
⇒ $latex x=-\frac{11}{7}$ e $latex x=-1$
EXEMPLO 3
Fatore e resolva a equação $latex 9{{x}^2}+6x+1=0$.
Solução: Seguindo o mesmo processo dos exemplos anteriores, podemos obter a equação fatorada:
$latex (3x+1)(3x+1)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos
⇒ $latex (3x+1)=0$ e $latex (3x+1)=0$
⇒ $latex x=-\frac{1}{3}$
EXEMPLO 4
Fatore e resolva a equação $latex 6{{x}^2}-7x+2=0$.
Solução: Podemos começar separando o meio termo:
$latex 6{{x}^2}-4x-3x+2=0$
E agora seguimos o mesmo processo dos exemplos anteriores:
$latex 2x(3x-2)-1(3x-2)=0$
$latex (3x-2)(2x-1)=0$
Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:
⇒ $latex (3x-2)=0$ e $latex (2x-1)=0$
⇒ $latex x=\frac{2}{3}$ e $latex x=\frac{1}{2}$
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
