10 Problemas de Equações Quadráticas

Podemos usar as letras X (número menor) e Y (número maior) para representar os dois números. Então, a partir da afirmação, podemos obter as seguintes equações:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Agora, podemos reorganizar a equação 1 para obter $latex Y=17-X$. Substituindo esta expressão na segunda equação, temos:

$latex X(17-X)=60$

Expandindo os parênteses e reorganizando a equação, temos:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Agora, podemos fatorar a equação para resolver:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ ou $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ ou $latex ~~X=5$

Então temos:

• Se $latex X=5$, temos $latex Y=17-5=12$. Esta solução está correta porque X<Y.
• Se $latex X=12$, temos $latex Y=17-12=5$

Os números são 12 e 5.

Usando as informações do enunciado e usando as letras X (número menor) e Y (número maior) para representar os números, podemos obter as seguintes equações:

$latex Y-X=5 ~~[1]$

$latex XY=126~~[2]$

Agora, podemos escrever a primeira equação como $latex Y=5+X$ e substituindo-a na segunda equação, temos:

$latex X(5+X)=126$

$latex 5X+X^2=126$

$latex X^2+5X-126=0$

Agora podemos fatorar e resolver:

$latex (X+13)(X-9)=0$

$latex X+13=0~~$ ou $latex ~~X-9=0$

$latex X=-13~~$ ou $latex ~~X=9$

Então temos:

• Se $latex X=-13$, temos $latex Y=5-13=-8$
• Se $latex X=9$, temos $latex Y=5+9=14$. Esta solução é a correta porque $latex XY=126$.

Os números são 12 e 5.

Podemos representar o lado menor com x. Isso significa que o lado maior é igual a x+7.

Além disso, lembramos que a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados. Assim, podemos formar a seguinte equação:

$latex x(x+7)=78$

Expandindo e escrevendo a equação na forma $latex ax^2+bx+c=0$, temos:

$latex x^2+7x-78=0$

Agora, podemos usar a fatoração para resolver:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ ou $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ ou $latex ~~x=6$

Como não podemos ter comprimentos negativos, temos $latex x=6$, então os comprimentos são 6 e 13.

Usando as letras X (lado curto) e Y (lado longo) para representar os lados, podemos obter as seguintes equações usando as informações fornecidas:

$latex Y=2X~~[1]$

$latex XY=200~~[2]$

Agora, podemos substituir a equação 1 na equação 2 e temos:

$latex X(2X)=200$

$latex 2X^2=200$

Para resolver esta equação, temos que isolar completamente X² e tirar a raiz quadrada de ambos os lados:

$latex X^2=100$

$latex X=\pm\sqrt{100}$

$latex X=\pm 10$

Como um comprimento não pode ser negativo, temos $latex X=10$. Então, temos $latex Y=20$.

Representando o primeiro número com x, podemos deduzir que um número ímpar consecutivo é igual a $latex x+2$. Então, usando as informações da declaração, formamos uma equação com os quadrados dos números consecutivos:

$latex (x+2)^2-x^2=48$

Expandindo, simplificando e resolvendo, temos:

$latex x^2+4x+4-x^2=48$

$latex 4x+4=48$

$latex 4x=44$

$latex x=11$

Portanto, os números ímpares consecutivos são 11 e 13.

Como o triângulo é um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os comprimentos dos três lados do triângulo.

A afirmação nos diz que 10 é a hipotenusa do triângulo. Então temos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

Expandindo e simplificando a equação, temos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

$latex x^2+x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x-96=0$

Agora, podemos dividir a equação inteira por 2 para simplificá-la:

$latex x^2+2x-48=0$

Resolvendo por fatoração, temos:

$latex (x+8)(x-6)=0$

$latex x+8=0~~$ ou $latex ~~x-6=0$

$latex x=-8~~$ ou $latex ~~x=6$

Como não podemos ter um comprimento negativo, a resposta é $latex x=6$.

Podemos representar um dos números com x. Isso significa que o outro número é igual a 48/x, pois o produto deles é igual a 48.

Assim, considerando que a média de dois números é igual à soma dos números dividido por 2, temos:

$latex \frac{x+48/x}{2}=7$

Simplificando, temos:

$latex x+\frac{48}{x}=14$

$latex x^2+48=14x$

$latex x^2-14x+48=0$

Agora podemos resolver por fatoração:

$latex (x-8)(x-6)=0$

$latex x-8=0~~$ ou $latex ~~x-6=0$

$latex x=8~~$ ou $latex ~~x=6$

Os números são 6 e 8.

Neste exercício, existem duas áreas que precisamos considerar, a área do quadrado original e a área do quadrado maior (comprimento +4).

Usando o x para representar os lados do quadrado original e lembrando que a área de um quadrado é igual ao comprimento de um dos lados ao quadrado, temos:

Grande Área = 9 × Área Original

$latex (x+4)^2=9x^2$

Expandindo e simplificando, temos:

$latex x^2+8x+16=9x^2$

$latex 8x^2-8x-16=0$

Podemos dividir a equação inteira por 8 e resolvendo por fatoração, temos:

$latex x^2-x-2=0$

$latex (x-2)(x+1)=0$

$latex x-2=0~~$ ou $latex ~~x+1=0$

$latex x=2~~$ ou $latex ~~x=-1$

Como um comprimento não pode ser negativo, a resposta é $latex x=2$.

A partir da declaração, podemos deduzir os seguintes comprimentos do triângulo:

• Lado curto = x-2
• Lado do meio = x (2 unidades de diferença com o lado curto)
• Hipotenusa = x+2 (4 unidades a mais que o lado curto)

Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os três comprimentos:

$latex (x-2)^2+x^2=(x+2)^2$

Expandindo e simplificando, temos:

$$x^2-4x+4+x^2=x^2+4x+4$$

$$x^2-4x+4+x^2-x^2-4x-4=0$$

$latex x^2-8x=0$

$latex x(x-8)=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=8$

Como o comprimento não pode ser 0, temos $latex x=8$.

Podemos dividir a figura em dois retângulos, um retângulo tem a área 7x e o outro retângulo tem a área x(2x+3). Somando essas áreas, temos:

$latex 7x+x(2x+3)=100$

Expandindo e simplificando, temos:

$latex 7x+2x^2+3x=100$

$latex 2x^2+10x-100=0$

Agora, podemos dividir a equação inteira por 2 e resolver por fatoração:

$latex x^2+5x-50=0$

$latex (x+10)(x-5)=0$

$latex x=-10~~$ ou $latex ~~x=5$

Como não podemos ter um comprimento negativo, a resposta é $latex x=5$.