A secante de um ângulo pode ser calculada relacionando os lados de um triângulo retângulo. A secante é definida como a função recíproca do cosseno, portanto, é igual ao comprimento da hipotenusa sobre o comprimento do lado adjacente. A secante dos ângulos mais importantes é obtida usando as proporções dos triângulos especiais conhecidos.
A seguir, aprenderemos sobre secante usando diagramas. Vamos derivar uma fórmula e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
Definição da secante de um ângulo
A secante de um ângulo em um triângulo retângulo é definida como o comprimento da hipotenusa dividido pelo comprimento do lado adjacente ao ângulo.
Além disso, também podemos definir a secante de um ângulo como a função recíproca do cosseno. Isso ocorre porque o cosseno é definido como o lado adjacente na hipotenusa, então, tomando seu recíproco, obtemos a secante.
$latex \sec (\theta)=\frac{1}{\cos}=\frac{H}{A}$
onde H é a hipotenusa e A é o lado adjacente.
Fórmula da secante em triângulos retângulos
Vamos usar o seguinte triângulo retângulo ABC que tem um ângulo reto em C para encontrar a razão da secante de um ângulo.
Usamos letras minúsculas para representar os comprimentos dos lados e usamos letras maiúsculas para representar os ângulos do triângulo.
Por exemplo, a letra a representa o lado oposto ao ângulo A, a letra b representa o lado oposto ao ângulo B e a letra c representa o lado oposto ao ângulo C. A secante de um ângulo em um triângulo retângulo é igual à hipotenusa dividida pelo lado adjacente:
| $latex \sec=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}$ |
No triângulo acima, temos $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$ e também $latex \sec(B)=\frac{c}{a}$.
Secante para ângulos especiais comuns
Podemos usar as razões dos lados de triângulos especiais para encontrar os valores das secantes de ângulos importantes. Por exemplo, podemos considerar o triângulo isósceles reto, que tem os ângulos 45°-45°-90°.
Encontramos suas razões usando o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$, mas neste caso, $latex a=b$, de modo que temos $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Concluímos que $latex c=a \sqrt{2}$. Então a secante de 45° é igual a $latex \sqrt{2}$.
Além disso, também usamos o triângulo retângulo com ângulos de 30°-60°-90°. As razões dos lados deste triângulo são 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando essas proporções, temos $latex \sec(30^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}$, que é equivalente a $latex \frac{2\sqrt{3}}{ 3}$. Também temos $latex \sec(60^{\circ})=2$.
Finalmente, podemos considerar os ângulos 0 e 90°. Quando o ângulo é 0, o lado adjacente, bem como a hipotenusa, é igual a 1 no círculo unitário, então a secante de 0 é igual a 1.
Por outro lado, quando o ângulo é de 90°, o lado adjacente é igual a 0 e a hipotenusa é igual a 1. No entanto, não podemos dividir por 0, então a secante de 90° é indefinida.
| Graus | Radianos | Secante |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | Indefinido |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex 2$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \sqrt{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| 0° | 0 | 1 |
Exercícios resolvidos de secante de um ângulo
Os exercícios a seguir são resolvidos usando a fórmula da secante vista acima. Cada um dos exercícios a seguir se refere ao triângulo retângulo mostrado acima, então usamos a mesma notação para lados e ângulos.
EXERCÍCIO 1
Qual é o valor de b se temos $latex \sec(A)=1,7$ e $latex c=5$?
Solução
Usamos o triângulo retângulo acima e observamos a relação $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$. Então, usamos essa relação com os valores dados para encontrar o valor de b:
$latex \sec(A)=\frac{c}{b}$
$latex 1,7=\frac{5}{b}$
$latex b=\frac{5}{1,7}$
$latex b=2,94$
O valor do lado b é igual a 2,94.
EXERCÍCIO 2
Se tivermos $latex a=8$ e $latex \sec(B)=1,44$, determine o valor de c.
Solução
Usando o triângulo retângulo acima como referência, temos $latex \sec(B)=\frac{c}{a}$. Usamos essa relação com os valores dados para determinar o valor de c:
$latex \sec(B)=\frac{c}{a}$
$latex 1,44=\frac{c}{8}$
$latex c=1,44(8)$
$latex c=11,52$
O valor da hipotenusa é 11,52.
EXERCÍCIO 3
Se temos $latex c=2$ e $latex b=\sqrt{3}$, qual é o valor do ângulo A?
Solução
Usando o triângulo retângulo acima como referência, podemos formar a seguinte relação $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$. Então, usando os valores dados, temos:
$latex \sec(A)=\frac{c}{b}$
$latex \sec(A)=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$latex \sec(A)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Usando uma calculadora com a função $latex {{\sec}^{-1}}$ ou usando a tabela acima, sabemos que temos:
$latex A=30$°
O ângulo A mede 30°.
→ Calculadora de Secante (Graus e Radianos)
Exercícios de secante de um ângulo para resolver
Use o que você aprendeu sobre a secante de um ângulo para resolver os exercícios a seguir. Esses exercícios se referem ao triângulo retângulo visto acima, então eles usam a mesma notação para lados e ângulos.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
