Cossecante de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios

Definição da cossecante de um ângulo

A cossecante de um ângulo é definida usando um triângulo retângulo. A cossecante de um ângulo é igual ao comprimento da hipotenusa dividido pelo comprimento do lado oposto ao ângulo no triângulo.

Outra definição das cossecantes é que são as funções recíprocas do seno. Isso significa que a cossecante de um ângulo é igual a 1 dividido pelo seno do ângulo. Sabemos que seno é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa e cossecante é o inverso disso. Então temos:

$latex \csc (\theta)=\frac{1}{\sin}=\frac{H}{O}$

onde H é a hipotenusa e O é o lado oposto.

Fórmula da cossecante em triângulos retângulos

Podemos encontrar a fórmula para a cossecante dos ângulos no seguinte triângulo retângulo ABC.

Geralmente, usamos letras maiúsculas para representar os ângulos e letras minúsculas para representar os lados do triângulo opostos ao ângulo correspondente. Por exemplo, o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.

Sabemos que a cossecante de um ângulo em um triângulo retângulo é igual à hipotenusa dividida pelo lado oposto:

$latex \csc=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{oposto}}$

No triângulo acima, temos $latex \csc(A)=\frac{c}{a}$ e também $latex \csc(B)=\frac{c}{b}$.

Cossecantes para ângulos especiais comuns

Os valores das cossecantes para ângulos comuns podem ser obtidos usando as razões dos lados de triângulos especiais. Por exemplo, podemos encontrar o valor da cossecante de 45° usando o triângulo 45°-45°-90°.

As proporções deste triângulo são encontradas usando o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. Como temos dois ângulos iguais de 45°, sabemos que $latex a=b$, então o teorema de Pitágoras se torna $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Isso significa que $latex c=a \sqrt{2}$.

Então a cossecante de 45° é igual a $latex \sqrt{2}$.

Os valores das cossecantes de 30° e 60° são encontrados usando o triângulo 30°-60°-90°. Este triângulo tem as proporções 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando isso, temos $latex \csc(30^{\circ})=2$ e $latex \csc(60^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}$, que é equivalente a $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Além disso, podemos encontrar os valores das cossecantes dos ângulos de 0° e 90° usando o círculo unitário. Quando o ângulo é 0°, o lado oposto é igual a 0 e não podemos dividir por 0, então a cossecante é indefinida. Quando o ângulo é 90°, o lado oposto é igual a 1 e a hipotenusa é igual a 1, então a cossecante é igual a 1.

Graus	Radianos	Cossecante
90°	$latex \frac{\pi}{2}$	1
60°	$latex \frac{\pi}{3}$	$latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$
45°	$latex \frac{\pi}{4}$	$latex \sqrt{2}$
30°	$latex \frac{\pi}{6}$	$latex 2$
0°	0	Indefinido

Exercícios resolvidos de cossecante de um ângulo

A relação entre a cossecante e os lados de um triângulo retângulo é usada para resolver os exercícios a seguir. Cada um dos exercícios a seguir se refere ao triângulo retângulo visto acima, então a notação para os lados é a mesma.

→ Calculadora de Cossecante (Graus e Radianos)

Cossecante de um ângulo exercícios para resolver

Resolva os seguintes exercícios práticos usando o que você aprendeu sobre a cossecante de um ângulo. Esses exercícios se referem ao triângulo retângulo visto acima, então eles usam a mesma notação para lados e ângulos.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre cossecantes, secantes e cotangentes? Veja estas páginas:

• Calculadora de Cossecante (Graus e Radianos)
• Secante de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios
• Cotangente de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios