A cossecante de um ângulo é definida em relação aos lados de um triângulo retângulo. Em um triângulo retângulo, a cossecante é igual ao comprimento da hipotenusa dividido pelo lado oposto ao ângulo. A cossecante é a função recíproca do seno.
A seguir, aprenderemos mais sobre cossecante e usaremos diagramas para facilitar o entendimento. Além disso, obteremos os valores das cossecantes dos ângulos mais importantes. Por fim, veremos alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a cossecante de um ângulo com exercícios.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a cossecante de um ângulo com exercícios.
Definição da cossecante de um ângulo
A cossecante de um ângulo é definida usando um triângulo retângulo. A cossecante de um ângulo é igual ao comprimento da hipotenusa dividido pelo comprimento do lado oposto ao ângulo no triângulo.
Outra definição das cossecantes é que são as funções recíprocas do seno. Isso significa que a cossecante de um ângulo é igual a 1 dividido pelo seno do ângulo. Sabemos que seno é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa e cossecante é o inverso disso. Então temos:
$latex \csc (\theta)=\frac{1}{\sin}=\frac{H}{O}$
onde H é a hipotenusa e O é o lado oposto.
Fórmula da cossecante em triângulos retângulos
Podemos encontrar a fórmula para a cossecante dos ângulos no seguinte triângulo retângulo ABC.
Geralmente, usamos letras maiúsculas para representar os ângulos e letras minúsculas para representar os lados do triângulo opostos ao ângulo correspondente. Por exemplo, o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.
Sabemos que a cossecante de um ângulo em um triângulo retângulo é igual à hipotenusa dividida pelo lado oposto:
| $latex \csc=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{oposto}}$ |
No triângulo acima, temos $latex \csc(A)=\frac{c}{a}$ e também $latex \csc(B)=\frac{c}{b}$.
Cossecantes para ângulos especiais comuns
Os valores das cossecantes para ângulos comuns podem ser obtidos usando as razões dos lados de triângulos especiais. Por exemplo, podemos encontrar o valor da cossecante de 45° usando o triângulo 45°-45°-90°.
As proporções deste triângulo são encontradas usando o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. Como temos dois ângulos iguais de 45°, sabemos que $latex a=b$, então o teorema de Pitágoras se torna $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Isso significa que $latex c=a \sqrt{2}$.
Então a cossecante de 45° é igual a $latex \sqrt{2}$.
Os valores das cossecantes de 30° e 60° são encontrados usando o triângulo 30°-60°-90°. Este triângulo tem as proporções 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando isso, temos $latex \csc(30^{\circ})=2$ e $latex \csc(60^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}$, que é equivalente a $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Além disso, podemos encontrar os valores das cossecantes dos ângulos de 0° e 90° usando o círculo unitário. Quando o ângulo é 0°, o lado oposto é igual a 0 e não podemos dividir por 0, então a cossecante é indefinida. Quando o ângulo é 90°, o lado oposto é igual a 1 e a hipotenusa é igual a 1, então a cossecante é igual a 1.
| Graus | Radianos | Cossecante |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \sqrt{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex 2$ |
| 0° | 0 | Indefinido |
Exercícios resolvidos de cossecante de um ângulo
A relação entre a cossecante e os lados de um triângulo retângulo é usada para resolver os exercícios a seguir. Cada um dos exercícios a seguir se refere ao triângulo retângulo visto acima, então a notação para os lados é a mesma.
EXERCÍCIO 1
Se temos $latex \csc(A)=1.4$ e $latex a=6$, qual é o valor de c?
Solução
Referindo-se ao triângulo retângulo acima, temos $latex \csc(A)=\frac{c}{a}$. Usamos essa relação junto com os valores dados para encontrar o valor de c:
$latex \csc(A)=\frac{c}{a}$
$latex 1,4=\frac{c}{6}$
$latex c=1,4(6)$
$latex c=8,4$
O valor do lado c é igual a 8,4.
EXERCÍCIO 2
Determine o valor de b se temos $latex c=12$ e $latex \csc(B)=2,9$.
Solução
Temos os valores $latex c=12$ e $latex \csc(B)=2,9$. Usando esses valores na relação $latex \csc(B)=\frac{c}{b}$, temos:
$latex \csc(B)=\frac{c}{b}$
$latex 2,9=\frac{12}{b}$
$latex b=\frac{12}{2,9}$
$latex b=4,14$
O valor de b é 4,14.
EXERCÍCIO 3
Temos os valores $latex c=4$ e $latex a=2\sqrt{3}$. Qual é o valor do ângulo A?
Solução
Usamos o triângulo retângulo acima como referência para formar a relação $latex \csc(A)=\frac{c}{a}$. Então, usando os valores dados, temos:
$latex \csc(A)=\frac{c}{a}$
$latex \csc(A)=\frac{4}{2\sqrt{3}}$
$latex \csc(A)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Podemos usar uma calculadora com $latex {{\csc}^{-1}}$ ou a tabela acima para determinar que:
$latex A=60$°
O ângulo A mede 60°.
→ Calculadora de Cossecante (Graus e Radianos)
Cossecante de um ângulo exercícios para resolver
Resolva os seguintes exercícios práticos usando o que você aprendeu sobre a cossecante de um ângulo. Esses exercícios se referem ao triângulo retângulo visto acima, então eles usam a mesma notação para lados e ângulos.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre cossecantes, secantes e cotangentes? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
