Cotangente de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios

Definição da cotangente de um ângulo

A cotangente de um ângulo em um triângulo retângulo é definida como o comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento do lado oposto.

Também podemos definir a cotangente como a função recíproca da tangente. Uma função recíproca é igual a 1 dividido pela função original. Isso significa que a cotangente é igual a 1 sobre a função tangente. Lembrando que a tangente é igual ao lado oposto sobre o lado adjacente, temos:

$latex \cot (\theta)=\frac{1}{\tan}=\frac{A}{O}$

onde A é o lado adjacente ao ângulo e O é o lado oposto.

Fórmula cotangente em triângulos retângulos

Podemos usar a definição de cotangente e encontrar fórmulas para a cotangente dos ângulos do seguinte triângulo retângulo ABC.

Comumente, usamos letras minúsculas para denotar os lados do triângulo que são opostos ao ângulo correspondente. Por exemplo, o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.

A cotangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente ao ângulo dividido pelo lado oposto:

$latex \cot=\frac{\text{adjacente}}{\text{oposto}}$

Isso significa que no triângulo acima, temos $latex \cot(A)=\frac{b}{a}$ e também $latex \cot(B)=\frac{a}{b}$.

Cotangentes para ângulos especiais comuns

Podemos determinar o valor da cotangente para os ângulos mais importantes usando as razões dos lados de triângulos especiais. Para encontrar a cossecante do ângulo de 45°, usamos o triângulo 45°-45°-90°.

Este é um triângulo retângulo, pois tem um ângulo de 90°, então podemos usar o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2} $. Dois dos ângulos são iguais (45°), então temos $latex a=b$. Assim, o teorema de Pitágoras se torna $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$.

Isso significa que $latex c=a \sqrt{2}$. Isso significa que o seno e o cosseno de 45° são iguais a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$, que é igual a $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$. Como a cotangente pode ser definida como o cosseno dividido pelo seno, a cotangente de 45° é igual a 1.

Podemos encontrar a cotangente de 30° e 60° usando o triângulo especial 30°-60°-90°. Este triângulo tem lados de razão 1:$latex \sqrt{3}$:2. Podemos usar as definições de seno e cosseno com essas razões e temos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ e temos também tem $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Graus	Radianos	Seno	Cosseno	Cotangente
90°	$latex \frac{\pi}{2}$	1	0	0
60°	$latex \frac{\pi}{3}$	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$	$latex \frac{1}{2}$	$latex \frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$latex \frac{\pi}{4}$	$latex \frac{\sqrt{2}}{2}$	$latex \frac{\sqrt{2}}{2}$	1
30°	$latex \frac{\pi}{6}$	$latex \frac{1}{2}$	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$	$latex \sqrt{3}$
0°	0	0	1	Indefinido

Exercícios resolvidos de cotangente de um ângulo

Os seguintes exercícios de cotangente de um ângulo são resolvidos usando a fórmula vista acima. Cada um dos exercícios a seguir se refere ao triângulo retângulo visto acima, então a notação para os lados é a mesma.

→ Calculadora de Cotangente (Graus e Radianos)

Cotangente de um ângulo – Exercícios para resolver

Resolva os exercícios a seguir usando o que você aprendeu sobre a cotangente de um ângulo. Esses exercícios se referem ao triângulo retângulo visto acima, então eles usam a mesma notação para lados e ângulos.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre cossecantes, secantes e cotangentes? Veja estas páginas:

• Calculadora de Cotangente (Graus e Radianos)
• Cossecante de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios
• Secante de um Ângulo – Fórmulas e Exercícios