A cotangente de um ângulo é a função recíproca da tangente. Lembre-se de que a tangente é definida como o lado oposto de um triângulo retângulo ao lado adjacente. Além disso, uma função recíproca é igual a 1 sobre a função original. Isso significa que a cotangente é igual ao lado adjacente de um triângulo retângulo dividido pelo lado oposto.
A seguir, revisaremos a cotangente com mais detalhes. Conheceremos os valores da cotangente dos ângulos mais comuns e resolveremos alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a cotangente de um ângulo com exercícios.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a cotangente de um ângulo com exercícios.
Definição da cotangente de um ângulo
A cotangente de um ângulo em um triângulo retângulo é definida como o comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento do lado oposto.
Também podemos definir a cotangente como a função recíproca da tangente. Uma função recíproca é igual a 1 dividido pela função original. Isso significa que a cotangente é igual a 1 sobre a função tangente. Lembrando que a tangente é igual ao lado oposto sobre o lado adjacente, temos:
$latex \cot (\theta)=\frac{1}{\tan}=\frac{A}{O}$
onde A é o lado adjacente ao ângulo e O é o lado oposto.
Fórmula cotangente em triângulos retângulos
Podemos usar a definição de cotangente e encontrar fórmulas para a cotangente dos ângulos do seguinte triângulo retângulo ABC.
Comumente, usamos letras minúsculas para denotar os lados do triângulo que são opostos ao ângulo correspondente. Por exemplo, o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.
A cotangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente ao ângulo dividido pelo lado oposto:
| $latex \cot=\frac{\text{adjacente}}{\text{oposto}}$ |
Isso significa que no triângulo acima, temos $latex \cot(A)=\frac{b}{a}$ e também $latex \cot(B)=\frac{a}{b}$.
Cotangentes para ângulos especiais comuns
Podemos determinar o valor da cotangente para os ângulos mais importantes usando as razões dos lados de triângulos especiais. Para encontrar a cossecante do ângulo de 45°, usamos o triângulo 45°-45°-90°.
Este é um triângulo retângulo, pois tem um ângulo de 90°, então podemos usar o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2} $. Dois dos ângulos são iguais (45°), então temos $latex a=b$. Assim, o teorema de Pitágoras se torna $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$.
Isso significa que $latex c=a \sqrt{2}$. Isso significa que o seno e o cosseno de 45° são iguais a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$, que é igual a $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$. Como a cotangente pode ser definida como o cosseno dividido pelo seno, a cotangente de 45° é igual a 1.
Podemos encontrar a cotangente de 30° e 60° usando o triângulo especial 30°-60°-90°. Este triângulo tem lados de razão 1:$latex \sqrt{3}$:2. Podemos usar as definições de seno e cosseno com essas razões e temos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ e temos também tem $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Graus | Radianos | Seno | Cosseno | Cotangente |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 0 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \sqrt{3}$ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | Indefinido |
Exercícios resolvidos de cotangente de um ângulo
Os seguintes exercícios de cotangente de um ângulo são resolvidos usando a fórmula vista acima. Cada um dos exercícios a seguir se refere ao triângulo retângulo visto acima, então a notação para os lados é a mesma.
EXERCÍCIO 1
Se temos $latex \cot(A)=1.6$ e $latex b=5$, qual é o valor de a?
Solução
Usamos o triângulo retângulo acima como referência e temos a relação $latex \cot(A)=\frac{a}{b}$. Então, usamos os valores dados nesta relação:
$latex \cot(A)=\frac{a}{b}$
$latex 1,6=\frac{a}{5}$
$latex a=5(1,6)$
$latex a=8$
O valor do lado a é igual a 8.
EXERCÍCIO 2
Determine o valor do lado b se tivermos $latex a=10$ e $latex \cot(B)=1,8$.
Solução
Referenciando o triângulo acima, temos a relação $latex \cot(B)=\frac{a}{b}$. Usamos esta fórmula com os valores dados e resolvemos para b:
$latex \cot(B)=\frac{a}{b}$
$latex 1.6=\frac{10}{b}$
$latex b=\frac{10}{1,6}$
$latex b=6,25$
O valor de b é 6,25.
EXERCÍCIO 3
Se temos $latex a=2$ e $latex b=2\sqrt{3}$, qual é o valor do ângulo A?
Solução
Fazendo referência ao triângulo acima, formamos a relação $latex \cot(A)=\frac{b}{a}$. Então, usando os valores dados, temos:
$latex \cot(A)=\frac{b}{a}$
$latex \cot(A)=\frac{2\sqrt{3}}{2}$
$latex \cot(A)=\sqrt{3}$
Encontramos o ângulo A usando uma calculadora com a função $latex {{sec}^{-1}}$ ou podemos usar a tabela acima. Então temos:
$latex A=30$°
O ângulo A mede 30°.
→ Calculadora de Cotangente (Graus e Radianos)
Cotangente de um ângulo – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando o que você aprendeu sobre a cotangente de um ângulo. Esses exercícios se referem ao triângulo retângulo visto acima, então eles usam a mesma notação para lados e ângulos.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre cossecantes, secantes e cotangentes? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
