A lei dos senos afirma que a razão dos lados de um triângulo e a razão dos senos dos respectivos ângulos são equivalentes entre si. A lei dos senos é usada para encontrar um ângulo ou lado desconhecido de um triângulo que não é um triângulo retângulo. A lei dos senos refere-se a pelo menos dois ângulos e as medidas de seus respectivos lados.
A seguir, conheceremos a fórmula da lei dos senos. Vamos aprender como derivar esta fórmula e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
Fórmula da lei dos senos
A fórmula da lei dos senos relaciona as razões dos lados de um triângulo com os senos de seus ângulos correspondentes. Então temos:
| $latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$ |
Aqui, a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo e A, B, C são os ângulos do triângulo. Cada lado do triângulo é denotado em relação ao seu ângulo oposto. Por exemplo, a é o lado oposto ao ângulo A, b é o lado oposto ao ângulo B e c é o lado oposto ao ângulo C.
Quando se aplica a lei dos senos?
Funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente são funções principais que são usadas para encontrar ângulos ou lados desconhecidos de um triângulo. A lei dos senos se aplica nas seguintes situações:
- Pode ser usada para calcular o outro lado de um triângulo quando conhecemos a medida de dois ângulos e o comprimento de um lado.
- Pode ser usada para calcular um ângulo quando conhecemos a medida de dois lados e um ângulo.
Com a lei dos senos, relacionamos os ângulos aos seus lados opostos. Então, usando o triângulo a seguir, podemos aplicar a lei dos senos se soubermos a medida dos ângulos A, B e o comprimento do lado a e queremos encontrar o comprimento do lado b. Além disso, podemos encontrar a medida do ângulo A se conhecermos os comprimentos dos lados a, b e a medida do ângulo B.
Como provar a lei dos senos?
Podemos provar a lei dos senos usando os dois triângulos a seguir:
Lembre-se que o seno de um ângulo em um triângulo é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa. Assim, no primeiro triângulo, temos:
$latex \frac{h}{b}=\sin(A)$
$latex h=b~\sin(A)$
Da mesma forma, no segundo triângulo, temos:
$latex \frac{h}{a}=\sin(B)$
$latex h=a~\sin(B)$
Obtivemos duas expressões para h. Se igualarmos as duas expressões, teremos:
$latex a~\sin(B)=b~\sin(A)$
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
Seguindo o mesmo processo, podemos derivar uma relação para $latex \sin(A)$ e $latex \sin(C)$. Então temos:
$latex a~\sin(C)=c~\sin(A)$
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{\sin(C)}$
Combinando as duas expressões obtidas, temos a lei dos senos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$
Exercícios da lei dos senos resolvidos
A fórmula da lei dos senos é usada para resolver os exercícios a seguir. Cada um dos exercícios tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se temos os ângulos A=30° e B=40° e temos o lado a=10, qual é o comprimento do lado b?
Solução
Começamos por reconhecer as informações que temos:
- A=30°
- B=40°
- a=10
Usamos a lei dos senos e resolvemos para b:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{10}{\sin(30)}=\frac{b}{\sin(40)}$
$latex \frac{10}{0,5}=\frac{b}{0,643}$
$latex 5=\frac{b}{0,643}$
$latex b=5(0,643)$
$latex b=3,2$
O comprimento de b é 3,2.
EXERCÍCIO 2
Temos os ângulos B=50° e C=35°. Se o comprimento de b é 8, qual é o comprimento de c?
Solução
Temos o seguinte:
- B=50°
- C=35°
- b=8
Usando esses valores na fórmula dada, temos:
$latex \frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$
$latex \frac{8}{\sin(50)}=\frac{c}{\sin(35)}$
$latex \frac{10}{0,766}=\frac{c}{0,574}$
$latex 13,05=\frac{c}{0,574}$
$latex c=13,05(0,574)$
$latex c=7,75$
O comprimento de c é 7,75.
EXERCÍCIO 3
Qual é o valor de A se temos a=8, B=30° e b=7?
Solução
Neste caso, temos dois ângulos e um lado:
- a=8
- B=30°
- b=7
Usamos a fórmula dada com estes valores:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{8}{\sin(A)}=\frac{7}{\sin(30)}$
$latex \frac{8}{\sin(A)}=\frac{7}{0,5}$
$latex \frac{8}{\sin(A)}=14$
$latex \sin(A)=\frac{8}{14}$
Agora, usamos a função seno inversa para encontrar o valor do ângulo
$latex A={{\sin}^{-1}}(\frac{8}{14})$
$latex A=34,8$°
O ângulo A mede 34,8°.
EXERCÍCIO 4
Temos os ângulos A=47° e B=78° e temos o comprimento c=6,3. Qual é o comprimento de a?
Solução
Temos os seguintes dados:
- A=47°
- B=78°
- c=6.3
Temos um lado que não corresponde a nenhum dos ângulos dados, então temos que encontrar o terceiro ângulo. Sabemos que os ângulos internos de um triângulo somam 180°, então temos:
$latex A+B+C=180$
$latex 47+78+C=180$
$latex C=180-47-78$
$latex C=55$
Agora, podemos usar a lei dos senos com todos os valores que temos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{\sin(C)}$
$latex \frac{a}{\sin(47)}=\frac{6,3}{\sin(55)}$
$latex \frac{a}{0,73}=\frac{6,3}{0,82}$
$latex \frac{a}{0,73}=7,68$
$latex a=7,68(0,73)$
$latex a=5,6$
O lado a mede 5,6.
Exercícios da lei dos senos para resolver
Use a fórmula da lei dos senos para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
