Equações trigonométricas – Exercícios resolvidos

Podemos escrever como se segue:

$$\tan^2x-3=0\Rightarrow\tan^2x=3$$

$$\tan x=\pm\sqrt{3}$$

A variável é isolada utilizando a função trigonométrica inversa correspondente:

$$x =\arctan (\pm\sqrt{3})$$

Ou seja, devemos encontrar todos os ângulos cuja tangente é $latex \pm\sqrt{3}$ e que, simultaneamente, pertencem ao intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$. A equação tem quatro destas soluções:

• $latex x_1 = 60º$
• $latex x_2 = 120º$
• $latex x_3 = 240º$
• $latex x_4 = 300º$

O leitor pode facilmente verificar isso:

$latex \tan 60º=\sqrt {3}=\tan 240º$

Considerando que:

$latex \tan 120º=-\sqrt {3}=\tan 300º$

$$2\cos x -6=-4\Rightarrow 2\cos x=2$$

$$\cos x=1$$

Por conseguinte:

$$x=\arccos 1$$

A solução desta equação no intervalo solicitado é:

$latex x = 0º$

Nesta equação, vemos que a variável $latex x$ está no argumento de cosseno e seno, pelo que o primeiro passo é escrever a equação em termos de uma única função trigonométrica, para a qual é necessária uma identidade trigonométrica que os relacione.

This identity is: $latex \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Podemos agora reescrevê-la assim:

$latex \cos^2 x = 1- \sin^2 x$

E isto é substituído na equação original:

$$2\cos^2x-\sin x-1=0\Rightarrow 2(1- \sin^2 x)-\sin x-1=0$$

Levando a:

$$2- 2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

$$- 2\sin^2 x-\sin x+1=0$$

Multiplicando ambos os lados por $latex -1$, temos:

$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

Agora é feita a seguinte substituição:

$latex y=\sin x $

E a equação é transformada em:

$$2y^2 +y-1=0$$

Esta é uma equação de segundo grau de $latex y$ que se resolve facilmente usando fatoração:

$$2y^2 +y-1=(2y-1)(y+1)=0$$

As raízes desta equação são:

$latex y_1 =\dfrac{1}{2}$

$latex y_2 =-1$

O passo seguinte é substituir de vola, levando a duas equações simples:

Equação 1

$$\sin x =\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\arcsin \left(\dfrac{1}{2}\right)$$

No intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$ existem dois ângulos cujo seno é igual a $latex \dfrac{1}{2}$, sendo eles:

• $latex x_1 =30º$
• $latex x_2 = 150º$

Equação 2

$$\sin x =-1\Rightarrow x=\arcsin (-1)$$

No intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$ existe um único ângulo cujo seno é igual a $latex -1$, e é:

• $latex x_3=270º$

Tal como no exemplo anterior, precisamos de ter apenas uma função trigonométrica na equação, e como aqui aparecem tangente e secante, utilizamos a identidade:

$latex \sec^2 x = 1+\tan ^2x$

Substituindo na equação original, ela torna-se:

$$\tan x+\sec^2 x – 3 = 0\Rightarrow \tan x+(1+\tan ^2x) – 3 = 0 $$

Por conseguinte, a equação é:

$$ \tan ^2x+\tan x- 2 = 0 $$

Esta equação também é transformada em uma equação quadrática substituindo $latex y=\tan x $ em:

$$y^2 +y-2=0$$

Facilmente resolvida usando fatoração:

$$y^2 +y-2=(y+2)(y-1)=0$$

E as raízes são:

$latex y_1 =-2$

$latex y_2 =1$

Substituindo de volta, isto leva a duas equações simples:

Equação 1

$latex \tan x =-2$

E a solução é:

$latex x = \arctan (-2)$

• $latex x_1=-63,4º; 116.6º; -243.40º;…$

Observe que a instrução não especificou um intervalo para a solução. Quando as soluções de uma equação trigonométrica estão no intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$, elas são chamadas de soluções principais.

Mas, devido à periodicidade das funções trigonométricas, há um número infinito de soluções para $latex x = \arctan (-2)$ , que podem ser dadas de forma geral e compacta:

• $latex x_1 = k\cdot180º-63.4º$

Onde $latex k$ é um inteiro, ou seja, $latex k = \pm 1;\pm 2; \pm 3; \pm 4…$

Equação 2

$latex \tan x =1$

Onde se segue:

$latex x = \arctan (1)$

• $latex x_2= 45º; 225º; -135º;…$
• $latex x_2 = k\cdot 180º+45º$

Se preferir, a solução pode ser dada em radianos, como se segue:

• $latex x_2 =k\pi+\dfrac{\pi}{4}$

Onde $latex \dfrac{\pi}{4}=45º$, ou:

• $latex x_2=\dfrac{(4k+1)\pi}{4}$

Onde $latex k =0; \pm 1;\pm 2; \pm 3; \pm 4…$

Como o argumento de seno e cosseno não é o mesmo, usamos uma identidade trigonométrica que relaciona $latex \sin 2x$ com $latex \sin x$ ou $latex \cos x$, de modo que o argumento seja $latex x$.

Esta identidade é a do ângulo duplo:

$latex \sin 2x =2\sin x\cos x$

O que, quando substituído na equação original, dá como resultado:

$$\sin 2x +\cos x = 0\Rightarrow 2\sin x\cos x+\cos x=0$$

A equação obtida é factorada para encontrar as soluções:

$$\cos x(2\sin x+1)=0$$

A partir daí, são obtidas duas equações mais simples:

Equação 1

$latex \cos x=0$

$latex x =\arccos 0$

Cujas soluções, no intervalo indicado, são:

• $latex x_1 =90º=\dfrac{\pi}{2}$
• $latex x_2 =270º=\dfrac{3\pi}{2}$

Equação 2

$latex 2\sin x+1=0\Rightarrow 2\sin x=-1$

$latex \sin x=-\dfrac{1}{2}$

$latex x=\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

O que nos dá duas soluções no intervalo indicado:

• $latex x_3 =210º=\dfrac{7\pi}{6}$
• $latex x_4 =330º=\dfrac{11\pi}{6}$

Esta equação trigonométrica é da forma:

$latex a\sin x + b\cos x = 0$

Que é facilmente resolvido dividindo ambos os lados da igualdade por $latex \cos x$, para deixar tudo em termos de $latex \tan x$:

$$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=\frac{3\sin x-\sqrt{3}\cos x}{\cos x}=0$$

Esta equação torna-se:

$$3\tan x-\sqrt{3}=0$$

Por conseguinte:

$$3\tan x=\sqrt{3}\Rightarrow\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x = \arctan \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

Uma vez que a declaração não especificava um intervalo, significa que existem infinitas soluções:

• $latex x_1 = 30º, 210º, 390º, 570º…$

E a sua forma geral é:

• $latex x = k\pi+\dfrac{\pi}{6}$

Ou:

• $latex x = k\cdot 180º+30º$

Onde $latex k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3…$

Para resolver esta equação, que contém um termo independente que não é $latex 0$, é utilizada a seguinte mudança de variável:

$$t=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)$$

Assim, seno e cosseno são expressos da seguinte forma:

$$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$$

$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$$

Esta mudança de variável é conhecida como a substituição universal ou substituição Weierstrass. Então, a equação original parece-se com esta:

$$4\sin x+3\cos x = 3\Rightarrow 4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) +3\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)=3$$

$$\frac{8t+3-3t^2}{1+t^2}=3\Rightarrow 8t+3-3t^2=3+3t^2$$

Reagrupando os termos, obtemos uma equação quadrática em $latex t$:

$$-6t^2+8t=0$$

$$3t^2-4t=0$$

O que se resolve através da fatoração:

$$3t^2-4t=0\Rightarrow t(3t-4)=0$$

As soluções são:

$latex t_1 =0$

$latex t_2=\dfrac{4}{3}$

Isto leva a duas equações simples:

Equação 1

$$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=0$$

Por conseguinte:

$latex\dfrac{x}{2}=\arctan 0$

$latex \dfrac{x}{2}=0, \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi,…$

$latex x=0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \pm 6\pi,…$

$latex x=2k\pi=2k\cdot 360º$

Onde $latex k$ é um inteiro.

Equação 2

$$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{4}{3}$$

Deduzimos isso:

$latex \dfrac{x}{2}=\arctan \left(\dfrac{4}{3}\right)=53.1º$

Portanto, a solução principal, que está no intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$, é:

$latex x=106.2º$

Além disso, os ângulos $latex -253,8º, 466,2º,…$ são também soluções da equação proposta, uma vez que a função tangente é periódica, portanto, de uma forma geral, a solução é dada por:

$latex x = k\cdot 360º+ 106.2º$

Onde $latex k = 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3…$, ou seja, $latex k$ é um inteiro.

Se for utilizada a identidade pitagórica:

$latex \sin^2x+\cos^2x$

$latex \cos^2x=1-\sin^2x$

Então:

$$3\sin^2x-\cos^2x =0\Rightarrow 3\sin^2x-(1-\sin^2x )=0 $$

Por conseguinte:

$$4\sin^2x-1 =0$$

$$\sin^2x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \sin x = \pm \sqrt \frac{1}{4}=\pm\dfrac{1}{2}$$

Portanto, as principais soluções da equação são:

• $latex x_1=\arcsin \left(\dfrac{1}{2}\right)=30º$
• $latex x_2=\arcsin \left(-\dfrac{1}{2}\right)=210º$

Para resolver esta equação, são utilizadas as seguintes identidades:

$latex \sec^2=1+\tan^2x$

$latex \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$

$latex \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Então, temos:

$$\cos x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}=\dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\sec^2x}=$$

$$=\dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos^2x}}=2\sin x \cos x$$

Por conseguinte:

$$\cos x = 2\sin x \cos x$$

Dividindo ambos os lados por $latex \cos x$, desde que $latex \cos x\neq 0$:

$$\cos x = 2\sin x \cos x\Rightarrow \dfrac{\cos x}{\cos x}=\dfrac{2\sin x \cos x}{\cos x}$$

Levando a:

$$2\sin x=1$$

Então:

$$x=\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)$$

$latex x = 30º, 150º,…-330º,… $

De uma forma geral, a solução é:

$latex x = 30º+k\cdot180º$

Ou também:

$latex x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

Onde $latex k$ é um número inteiro.

Usando a seguinte mudança de variável: $latex p = \sin x$, $latex ~q=\cos y$, o sistema de equações fica assim:

$$ \left\{\begin{array}{rcl} p+q&=&\sqrt{2}\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$$

A partir da primeira equação, obtemos:

$latex p =\sqrt{2}-q$

É então substituída na segunda equação:

$$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}-q}\right)+\left(\dfrac{1}{q}\right)=2\sqrt{2}$$

$$\dfrac{q+\sqrt{2}-q}{q(\sqrt{2}-q)}=2\sqrt{2}$$

$$\dfrac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}-q)}=2\sqrt{2}$$

Por conseguinte:

$$q(\sqrt{2}-q)=0.5$$

Aplicando a propriedade distributiva, obtemos uma equação de segundo grau:

$latex q^2-\sqrt{2}q+0.5=0$

Com a solução:

$latex q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.70710…$

Substituindo:

$latex p =\sqrt{2}-q$

Temos:

$$p =\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.70710…$$

Substituindo de volta, temos:

$$p = \sin x\Rightarrow\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

E a solução geral é:

$$x = 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$$

Onde $latex k$ é um número inteiro.

Por outro lado:

$latex q = \cos y$

$$q = \cos y\Rightarrow\cos y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

$$ y = 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$$

Onde $latex k$ é um número inteiro.