Os sistemas de coordenadas são simplesmente formas de definir um ponto no espaço. O sistema de coordenadas cartesianas, que tem a forma (x, y), é o sistema de coordenadas mais utilizado. No entanto, nem sempre é o sistema de coordenadas mais conveniente. Um sistema alternativo é o sistema de coordenadas polares, que tem a forma (r, θ). Neste sistema, r representa a distância da origem ao ponto e θ representa o ângulo formado em relação ao eixo x.
A seguir, aprenderemos como usar esse sistema de coordenadas. Além disso, aprenderemos como converter de coordenadas cartesianas para polares e vice-versa.
O que são coordenadas polares?
As coordenadas polares são um sistema de coordenadas alternativo ao sistema cartesiano. As coordenadas polares têm a forma (r, θ), onde r é a distância da origem ao ponto e θ é o ângulo feito em relação ao eixo x.
Este sistema de coordenadas pode ser mais conveniente para calcular as equações de movimento para vários sistemas mecânicos. Muitas vezes temos objetos que se movem em círculos e o uso de coordenadas polares pode simplificar as equações utilizadas.
Exemplos de coordenadas polares
Um ponto em coordenadas polares pode ser representado graficamente medindo a distância da origem e medindo o ângulo do eixo x. O diagrama a seguir representa o ponto $latex (4, ~\frac{\pi}{3})$.
O valor de r pode ser positivo ou negativo. Por exemplo, abaixo temos o gráfico dos pontos $latex (4, ~\frac{\pi}{3})$ e $latex (-4, ~\frac{\pi}{3})$.
Podemos ver que se r for positivo, o ponto está localizado no mesmo quadrante do ângulo. Por outro lado, se r for negativo, o ponto está localizado no quadrante oposto ao ângulo.
Uma diferença importante entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares é que, em coordenadas cartesianas, existe apenas um conjunto de coordenadas para cada ponto.
Por outro lado, em coordenadas polares, há um número infinito de coordenadas para cada ponto. Se somarmos ou subtrairmos 2π, obtemos um ângulo equivalente. Por exemplo, as seguintes coordenadas representam o mesmo ponto:
$latex (4, \frac{\pi}{3})=(4, -\frac{5\pi}{3})=(-4, \frac{4\pi}{3})=(-4, -\frac{2\pi}{3})$
Fórmulas de conversão de polar para cartesiana
Podemos obter as fórmulas de conversão de polar para cartesiano usando o seguinte diagrama:
Usando o diagrama, podemos ver facilmente que o componente x é encontrado usando o cosseno do ângulo e o componente y é encontrado usando o seno do ângulo:
| $latex x=r~\cos(\theta)$ $latex y=r~\sin(\theta)$ |
EXERCÍCIO 1
Temos as coordenadas polares $latex (6, \frac{2\pi}{3})$. Qual é o seu equivalente em coordenadas cartesianas?
Solução
Temos os valores $latex r=6, ~\theta=\frac{2\pi}{3}$. Utilizando esses valores junto com as fórmulas de conversão, temos:
$latex x=6 \cos(\frac{2\pi}{3})$
$latex x=-3$
$latex y=6 \sin(\frac{2\pi}{3})$
$latex y=5,2$
As coordenadas cartesianas são (-3, 5,2).
EXERCÍCIO 2
Se tivermos as coordenadas polares $latex (5, \frac{5\pi}{4})$, qual é o seu equivalente em coordenadas cartesianas?
Solução
Reconhecemos os valores $latex r=5, ~\theta=\frac{5\pi}{4}$. Temos que encontrar os valores de x e y usando esses valores e as fórmulas dadas acima:
$latex x=5 \cos(\frac{5\pi}{4})$
$latex x=-3,54$
$latex y=5 \sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex y=3,54$
As coordenadas cartesianas são (-3,54, 3,54).
Fórmulas de conversão de cartesiana para polar
Vamos usar o mesmo diagrama para obter as fórmulas de conversão de cartesiana para polar:
Usando o triângulo retângulo, podemos ver que r é igual à hipotenusa e x, y são os catetos. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de r:
$latex {{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$
| $latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$ |
Encontramos o ângulo θ usando a tangente inversa. A tangente de um ângulo é igual ao lado oposto dividido pelo lado adjacente. Neste caso, o lado oposto é y e o lado adjacente é x. Então temos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Devemos ter cuidado com o ângulo, pois a tangente inversa tem um intervalo de $latex -\frac{\pi}{2}$ a $latex \frac{\pi}{2}$. Por causa disso, a calculadora pode nos fornecer um valor incorreto.
Para corrigir isso, adicionamos 180° ou π se o ponto estiver no segundo e terceiro quadrantes e adicionamos 360° ou 2π se o ponto estiver no quarto quadrante. Se o ponto estiver no primeiro quadrante, simplesmente usamos o ângulo dado pela calculadora.
EXERCÍCIO 1
Se temos o ponto (3, 5) em coordenadas cartesianas, quais são suas coordenadas polares?
Solução
Temos os valores $latex x=3,~y=5$. Usamos esses valores junto com as fórmulas de conversão para obter os valores de r e θ. Assim, o valor de r é:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{3}^2}+{{5}^2}}$
$latex r=\sqrt{9+25}$
$latex r=\sqrt{34}$
$latex r=5,83$
O ângulo θ é:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{5}{3})$
$latex \theta=1,03$ rad
As coordenadas do ponto são (5,83, 1,03 rad).
EXERCÍCIO 2
Temos o ponto (-2, -6) em coordenadas cartesianas. Qual é a sua equivalência em coordenadas polares?
Solução
Reconhecemos os valores $latex x=-2,~y=-6$. Encontramos os valores de r e θ usando as fórmulas dadas acima. Assim, o valor de r é:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-6)}^2}}$
$latex r=\sqrt{4+36}$
$latex r=\sqrt{40}$
$latex r=6,32$
O ângulo θ é:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-6}{-2})$
$latex \theta=1,25$ rad
Neste caso, o componente x e o componente y são negativos, então o ponto está no terceiro quadrante. Isso significa que temos que adicionar π ao ângulo dado. Então o ângulo correto é $latex \theta=1,25+\pi=4,39$ rad.
As coordenadas do ponto são (6,32, 4,39 rad).
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
