As coordenadas polares são escritas na forma (r, θ), onde r é a distância e θ é o ângulo. Essas coordenadas podem ser relacionadas a coordenadas retangulares ou cartesianas usando trigonometria, um triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras. Podemos usar a função tangente para encontrar o ângulo e o teorema de Pitágoras para encontrar a distância, r.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas retangulares para polares. Além disso, vamos resolver alguns exercícios práticos para aplicar as fórmulas aprendidas.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas retangulares para polares.
TRIGONOMETRIA
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Aprender a transformar de coordenadas retangulares para polares.
Como transformar de coordenadas retangulares para coordenadas polares?
Lembramos que as coordenadas retangulares são escritas na forma $latex (x, ~y)$ e as coordenadas polares são escritas na forma $latex (r,~ \theta)$, onde r é a distância da origem ao ponto e θ é o ângulo formado pela linha e o eixo x. Essas coordenadas são relacionadas usando trigonometria.
Vejamos o seguinte diagrama:
Usando o triângulo retângulo, podemos obter relações para as coordenadas polares em termos das coordenadas retangulares. Notamos que as coordenadas x formam a base do triângulo retângulo e as coordenadas y formam a altura.
Além disso, vemos que a distância r corresponde à hipotenusa do triângulo. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa:
$latex {{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$
| $latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$ |
O ângulo θ pode ser encontrado usando a função tangente. Lembre-se que a tangente de um ângulo é igual ao lado oposto dividido pelo lado adjacente. O lado oposto é o componente y e o lado adjacente é o componente x. Então temos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Como o intervalo da função tangente inversa é de $latex -\frac{\pi}{2}$ a $latex \frac{\pi}{2}$, isso não cobre todos os quatro quadrantes do plano cartesiano, então muitas vezes, a calculadora pode dar o valor errado de $latex {{\tan}^{-1}}$.
Isso depende do quadrante em que o ponto está localizado. Podemos usar o seguinte para corrigir isso:
| Quadrante | Valor de $latex {{\tan}^{-1}}$ |
| I | Usamos o valor da calculadora |
| II | Adicionamos 180° ao valor da calculadora |
| III | Adicionamos 180° ao valor da calculadora |
| IV | Adicionamos 360° ao valor da calculadora |
Exercícios resolvidos de coordenadas retangulares ou Cartesianas para polares
O que foi aprendido sobre a transformação de coordenadas retangulares em coordenadas polares é usado para resolver os exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se tivermos as coordenadas retangulares (3, 4), qual é o seu equivalente em coordenadas polares?
Solução
Temos os valores $latex x=3, ~y=4$. Usamos as fórmulas dadas acima com esses valores para encontrar as coordenadas polares. Então, o valor de r é encontrado usando o teorema de Pitágoras:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex r=\sqrt{9+16}$
$latex r=\sqrt{25}$
$latex r=5$
Agora, encontramos o valor de θ usando a tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{3})$
$latex \theta=0,93$ rad
Tanto o componente x quanto o componente y são positivos, então o ponto está no primeiro quadrante. Isso significa que o ângulo obtido é correto.
As coordenadas polares são (5, 0,93 rad).
EXERCÍCIO 2
Temos as coordenadas retangulares (-1, 3). Qual é o seu equivalente em coordenadas polares?
Solução
Podemos observar os valores $latex x=-1, ~y=3$. Encontramos o valor de r usando o teorema de Pitágoras com os valores dados:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{(-1)}^2}+{{3}^2}}$
$latex r=\sqrt{1+9}$
$latex r=\sqrt{10}$
Para encontrar o valor de θ, usamos a tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{-1})$
$latex \theta=-1,25$ rad
O componente x é negativo e o componente y é positivo, então o ponto está no segundo quadrante. Isso significa que temos que adicionar π ao ângulo obtido. O ângulo correto é $latex \theta=-1,25+\pi=1,89$ rad.
As coordenadas polares são ($latex \sqrt{10}$, 1,89 rad).
EXERCÍCIO 3
Se temos as coordenadas cartesianas (-3, -9), quais são as coordenadas polares?
Solução
Temos os valores $latex x=-3, ~y=-9$. O valor de r é encontrado usando o teorema de Pitágoras:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{(-3)}^2}+{{(-9)}^2}}$
$latex r=\sqrt{9+81}$
$latex r=\sqrt{90}$
$latex r=3\sqrt{10}$
O valor de θ é:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-9}{-3})$
$latex \theta=1,25$ rad
Tanto o componente x quanto o componente y são negativos, então o ponto está no terceiro quadrante. Isso significa que temos que adicionar π ao ângulo obtido. O ângulo correto é $latex \theta=1,25+\pi=4,39$ rad.
As coordenadas polares são ($latex 3\sqrt{10}$, 1,25 rad).
EXERCÍCIO 4
Um ponto é definido por (4, -5) em coordenadas retangulares. Como podemos definir o ponto em coordenadas polares?
Solução
Podemos extrair os valores $latex x=4, ~y=-5$. Usamos esses valores e o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de r:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{4}^2}+{{(-5)}^2}}$
$latex r=\sqrt{16+25}$
$latex r=\sqrt{41}$
Agora, usamos a tangente inversa para encontrar o valor de θ:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{-5})$
$latex \theta=-0,67$ rad
O componente x é positivo e o componente y é negativo, então o ponto está no quarto quadrante. Isso significa que temos que adicionar 2π ao ângulo obtido. O ângulo correto é $latex \theta=-0,67+2\pi=5,61$ rad.
As coordenadas polares são ($latex \sqrt{41}$, -0,67 rad).
Exercícios de coordenadas retangulares para polares para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando as fórmulas vistas acima para transformar de coordenadas retangulares em polares. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
