Um sistema de coordenadas é definido como uma forma de definir e localizar um ponto no espaço. O sistema de coordenadas tridimensional mais utilizado é o sistema cartesiano, que tem a forma (x, y, z). No entanto, existem sistemas alternativos que podem ser mais convenientes dependendo da situação. Um desses sistemas é o sistema de coordenadas esféricas. Este sistema tem a forma (ρ, θ, φ), onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo formado em relação ao eixo x e φ é o ângulo formado em relação ao eixo z.
A seguir, conheceremos mais detalhes sobre esse sistema de coordenadas. Além disso, conheceremos as fórmulas usadas para converter de coordenadas cartesianas para esféricas e vice-versa.
O que são coordenadas esféricas?
As coordenadas esféricas são um sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tem a forma (ρ, θ, φ), onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo formado em relação ao eixo x e φ é o ângulo formado em relação ao eixo z.
O sistema de coordenadas esféricas é útil quando queremos representar graficamente figuras esféricas ou figuras definidas com base em ângulos. Este sistema de coordenadas é principalmente conveniente no cálculo.
Muitas vezes encontrar as derivadas ou integrais de figuras esféricas pode ser mais fácil usando este sistema, pois podemos descrever as figuras usando equações mais simples e convenientes.
Exemplos de coordenadas esféricas
Para representar graficamente um ponto representado em coordenadas esféricas, podemos começar localizando-o em relação à sua distância da origem e seu ângulo em relação ao eixo x. Depois, o localizamos em relação ao ângulo que ele faz a partir do eixo z. O diagrama a seguir representa o ponto $latex (3, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$.
Podemos ver que, o ângulo φ é medido a partir do eixo z positivo. Este ângulo vai de 0 a π. Por outro lado, o ângulo θ não tem nenhuma restrição. Isso significa que, na realidade, temos várias maneiras de representar um ponto em coordenadas esféricas.
Isso porque se somarmos ou subtrairmos 2π ou um múltiplo de 2π, obtemos um ângulo equivalente. Por exemplo, os ângulos $latex \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ são equivalentes.
Fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas
Vamos usar o diagrama a seguir para derivar as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas:
Podemos usar triângulos retângulos e trigonometria para obter equações para ρ, θ, φ em termos de x, y, z. A derivação destas equações é mais fácil se começarmos por transformar de coordenadas esféricas para cilíndricas e depois de cilíndricas para coordenadas cartesianas. Assim, usamos o seguinte diagrama:
Podemos encontrar r e z usando as funções seno e cosseno respectivamente:
$latex z=\rho \cos(\phi)$
$latex r=\rho \sin(\phi)$
O terceiro componente aqui é $latex \theta$. Agora, usamos as fórmulas de transformação de coordenadas cilíndricas para cartesianas:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex z=z~~~~~$
Se usarmos esses dois conjuntos de equações, teremos:
| $latex x=\rho \sin(\phi)\cos(\theta)$ $latex y=\rho \sin(\phi)\sin(\theta)$ $latex z=\rho \cos(\phi)~~$ |
EXERCÍCIO 1
Se tivermos as coordenadas esféricas $latex (3, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$, qual é o seu equivalente em coordenadas cartesianas?
Solução
Podemos ver os valores $latex \rho=3,~\theta=\frac{2\pi}{3},~\phi=\frac{\pi}{4}$. Usamos os valores com as fórmulas vistas acima para encontrar o valor de x:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=3~\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{2\pi}{3})$
$latex x=-1,06$
O valor de y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=3~\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{2\pi}{3})$
$latex y=1,84$
O valor de z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=3~\cos(\frac{\pi}{4})$
$latex z=2,12$
As coordenadas cartesianas do ponto são (-1,06, 1,84, 2,12).
EXERCÍCIO 2
Temos as coordenadas esféricas $latex (6, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$. Qual é o seu equivalente em coordenadas cartesianas?
Solução
Podemos extrair os valores $latex \rho=6,~\theta=\frac{5\pi}{3},~\phi=\frac{\pi}{2}$. Então usamos as fórmulas com estes valores para encontrar o valor de x:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=6~\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{5\pi}{3})$
$latex x=3$
O valor de y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=6~\sin(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{3})$
$latex y=-5,2$
O valor de z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=6~\cos(\frac{\pi}{2})$
$latex z=0$
As coordenadas cartesianas do ponto são (3, -5,2, 0).
Fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para esféricas
Para derivar as fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas, usamos o mesmo diagrama:
O componente ρ pode ser encontrada em termos de x, y, z usando o teorema de Pitágoras em três dimensões. Então temos:
$latex {{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
| $latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$ |
O ângulo θ é encontrado usando o mesmo processo que as coordenadas cilíndricas. Usamos a tangente inversa, onde y é o lado oposto do ângulo e x é o lado adjacente. Então temos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Algo que devemos considerar é que muitas vezes o ângulo dado pela calculadora não é correto. Isso ocorre porque a função tangente inversa tem um intervalo de $latex -\frac{\pi}{2}$ a $latex \frac{\pi}{2}$, portanto, não cobre todos os quatro quadrantes.
Para corrigir isso, adicionamos 180° ou π se o ponto estiver no segundo ou terceiro quadrante e adicionamos 360° ou 2π se o ponto estiver no quarto quadrante. Se o ponto estiver no primeiro quadrante, o valor dado pela calculadora está correto.
Para encontrar o ângulo φ, podemos usar a função cosseno. Vemos que o lado adjacente a esse ângulo é o lado z e a hipotenusa é igual a ρ. Então temos:
| $latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$ |
EXERCÍCIO 1
O ponto (2, 3, 4) é escrito em coordenadas cartesianas. Qual é o seu equivalente em coordenadas esféricas?
Solução
Podemos observar os valores $latex x=2, ~y=3,~z=4$. Encontramos os valores de ρ, θ e φ, usando as fórmulas derivadas. Assim, o valor de ρ é:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{2}^2}+{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+9+16}$
$latex \rho=\sqrt{29}$
$latex \rho=5,39$
Agora, usamos a tangente inversa para encontrar θ:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{2})$
$latex \theta=0,98$ rad
Esse valor é correto, pois o ponto está no primeiro quadrante (os valores de x e y são positivos).
Usamos o cosseno inverso para encontrar o valor de φ:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{4}{5.39})$
$latex \phi=0,73$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (5,39, 0,98 rad, 0,73 rad).
EXERCÍCIO 2
Se o ponto (-2, -4, 5) está em coordenadas cartesianas, qual é a sua equivalência em coordenadas polares?
Solução
Temos os valores $latex x=-2, ~y=-4,~z=5$. Usamos as equações obtidas com estes valores para encontrar as coordenadas esféricas. O valor de ρ é:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-4)}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+16+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6,71$
O valor de θ é:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-4}{-2})$
$latex \theta=1,11$ rad
Neste caso, tanto o componente x quanto o componente y são negativos. Isso significa que o ponto está localizado no terceiro quadrante e temos que somar 180° ou π para obter o ângulo correto. Então o ângulo correto é $latex \theta=1,11+\pi=4,25$ rad.
O valor de φ é:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6.71})$
$latex \phi=0,73$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (6,71, 1,11 rad, 0,73 rad).
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
