As coordenadas esféricas são escritas na forma (ρ, θ, φ), onde ρ representa a distância da origem ao ponto, θ representa o ângulo em relação ao eixo x no plano xy e φ representa o ângulo formado com relação ao eixo z. As coordenadas esféricas podem ser úteis ao representar graficamente esferas ou outras figuras tridimensionais representadas por ângulos. Este sistema de coordenadas é particularmente útil no cálculo, pois geralmente é mais fácil obter derivadas ou integrais usando esse sistema quando temos problemas relacionados a esferas ou figuras semelhantes.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas cartesianas para esféricas. Em seguida, usaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas cartesianas para esféricas.
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Aprender a transformar de coordenadas cartesianas para esféricas.
Como transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas?
Podemos transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas usando triângulos retângulos, trigonometria e o teorema de Pitágoras.
As coordenadas cartesianas são escritas na forma (x, y, z), enquanto as coordenadas esféricas têm a forma (ρ, θ, φ). Nesta forma, ρ é a distância da origem a um ponto tridimensional, θ é o ângulo no plano xy em relação ao eixo x e φ é o ângulo feito em relação ao eixo z. Podemos observar esses componentes no diagrama a seguir.
Podemos começar encontrando o comprimento de ρ em termos de x, y, z. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras em três dimensões. Então, temos que ρ ao quadrado é igual à soma dos quadrados de x, y, z:
$latex {{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
| $latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$ |
O ângulo θ é o mesmo encontrado ao transformar para coordenadas cilíndricas. Encontramos esse ângulo usando a função tangente inversa. A tangente de um ângulo é igual ao lado oposto dividido pelo lado adjacente.
No diagrama, podemos ver que o lado oposto é igual ao componente y e o lado adjacente é o componente x. Então temos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
No entanto, devemos notar que o ângulo θ dado pela calculadora às vezes é incorreto porque o intervalo da função tangente inversa é $latex -\frac{\pi}{2}$ até $latex \frac{\ pi}{2} $. Isso não cobre todos os quatro quadrantes do plano cartesiano, então usamos a tabela a seguir para corrigir isso:
| Quadrante | Valor de $latex {{\tan}^{-1}}$ |
| I | Usamos o valor da calculadora |
| II | Adicionamos 180° ao valor da calculadora |
| III | Adicionamos 180° ao valor da calculadora |
| IV | Adicionamos 360° ao valor da calculadora |
Finalmente, temos o ângulo φ. Este é o ângulo formado pela linha e o eixo z positivo. Este ângulo vai de 0 a π. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a função cosseno. O cosseno é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa.
No diagrama abaixo, vemos que o lado adjacente é igual à componente z e a hipotenusa é igual a ρ. Então temos:
| $latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$ |
Exercícios resolvidos de coordenadas cartesianas para esféricas
Os exercícios a seguir podem ser usados para entender o processo de transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Temos o ponto (2, 3, 4) em coordenadas cartesianas. Qual é a sua equivalência em coordenadas esféricas?
Solução
Temos os valores $latex x=2, ~y=3,~z=4$. Usamos as fórmulas dadas acima para encontrar os valores de ρ, θ e φ. Para encontrar o valor de ρ, usamos o teorema de Pitágoras em três dimensões:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{2}^2}+{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+9+16}$
$latex \rho=\sqrt{29}$
$latex \rho=5,39$
Encontramos θ, usando a função tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{2})$
$latex \theta=0,98$ rad
Os valores x e y são positivos, então o ponto fica no primeiro quadrante. Portanto, o ângulo obtido é correto.
Para encontrar o valor de φ, usamos a função cosseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{4}{5,39})$
$latex \phi=0,73$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (5,39, 0,98, 0,73). Os ângulos são escritos em radianos.
EXERCÍCIO 2
O ponto (4, 2, 5) está em coordenadas cartesianas. Qual é a sua equivalência em coordenadas esféricas?
Solução
Podemos reconhecer os valores $latex x=4, ~y=2,~z=5$. Vamos encontrar os valores de ρ, θ e φ usando as fórmulas vistas acima com os valores fornecidos. Começamos com o valor de ρ:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{4}^2}+{{2}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{16+4+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6,71$
Usamos a tangente inversa para encontrar θ:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{2}{5})$
$latex \theta=0,38$ rad
Este valor é correto, pois o ponto está localizado no primeiro quadrante.
Usamos o cosseno inverso para encontrar o valor de φ:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6,71})$
$latex \phi=0,73$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (6,71, 0,38, 0,73). Os ângulos são escritos em radianos.
EXERCÍCIO3
Se tivermos as coordenadas cartesianas (-4, 4, 6), qual é a sua equivalência em coordenadas esféricas?
Solução
Temos os valores $latex x=-4, ~y=4,~z=6$. Usamos as fórmulas de transformação com os valores dados para encontrar os valores de ρ, θ e φ. O valor de ρ é encontrado usando o teorema de Pitágoras em três dimensões:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-4)}^2}+{{4}^2}+{{6}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{16+16+36}$
$latex \rho=\sqrt{68}$
$latex \rho=8,25$
Agora, encontramos θ, usando a função tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{-4})$
$latex \theta=-0,78$ rad
O valor x é negativo e o valor y é positivo, então o ponto está no segundo quadrante. Isso significa que temos que adicionar 180° ou π para encontrar o ângulo correto. O ângulo correto é $latex \theta=-0,78+\pi=2,36$ rad.
Para encontrar o valor de φ, usamos a função cosseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{6}{8.25})$
$latex \phi=0,76$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (8,25, 2,36, 0,76). Os ângulos são escritos em radianos.
EXERCÍCIO 4
Temos o ponto (-2, -4, 5) em coordenadas cartesianas. Qual é a sua equivalência em coordenadas esféricas?
Solução
Podemos reconhecer os valores de $latex x=-2, ~y=-4,~z=5$. Agora, encontramos os valores de ρ, θ e φ usando as fórmulas de transformação. Para encontrar o valor de ρ, usamos o teorema de Pitágoras em três dimensões:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-4)}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+16+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6,71$
Encontramos θ, usando a função tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-4}{-2})$
$latex \theta=1,11$ rad
Ambos os valores de x e y são negativos, então o ponto está no terceiro quadrante. Isso significa que temos que adicionar 180° ou π para obter o ângulo correto. Então o ângulo correto é $latex \theta=1,11+\pi=4,25$ rad.
Para encontrar o valor de φ, usamos a função cosseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6.71})$
$latex \phi=0,73$ rad
As coordenadas esféricas do ponto são (6,71, 1,11, 0,73). Os ângulos são escritos em radianos.
Exercícios de coordenadas cartesianas para esféricas para resolver
Resolva os seguintes exercícios práticos usando as fórmulas de transformação de coordenadas cartesianas para esféricas vistas acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
