As coordenadas esféricas têm a forma (ρ, θ, φ), onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo no plano xy em relação ao eixo x, e φ é o ângulo em relação ao eixo z. Estas coordenadas podem ser transformadas para coordenadas cartesianas usando triângulos retângulos e trigonometria. Usamos as funções seno e cosseno para encontrar as componentes vertical e horizontal e obter expressões para x, y, z em termos de ρ, θ, φ.
Em seguida, derivaremos as fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Depois, aplicaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.
Como transformar de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas?
As coordenadas esféricas têm a forma (ρ, θ, φ). Nesta forma, ρ representa a distância da origem ao ponto, θ representa o ângulo no plano xy em relação ao eixo x e φ representa o ângulo em relação ao eixo z. Por outro lado, as coordenadas cartesianas tridimensionais têm a forma $latex (x,~ y,~ z)$.
Para transformar de coordenadas esféricas para cartesianas, temos que usar triângulos retângulos e trigonometria. Para facilitar a derivação das fórmulas de transformação, podemos começar transformando de coordenadas esféricas para cilíndricas e, em seguida, podemos transformar de coordenadas cilíndricas para cartesianas.
Assim, usamos o seguinte diagrama:
Sabemos que o ângulo entre o eixo z e ρ é igual a φ. Usando um pouco de geometria, também sabemos que φ é o ângulo entre ρ e o lado vertical do triângulo. Então, usando trigonometria, temos:
$latex z=\rho \cos(\phi)$
$latex r=\rho \sin(\phi)$
Também temos $latex \theta= \theta$. Estas são as fórmulas que nos permitem converter de coordenadas esféricas para cilíndricas. Agora, podemos usar as fórmulas de transformação de cordenadas cilíndricas para cartesianas:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex z=z~~~~~$
Usando esses dois conjuntos de equações, podemos obter as fórmulas de transformação de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas:
| $latex x=\rho \sin(\phi)\cos(\theta)$ $latex y=\rho \sin(\phi)\sin(\theta)$ $latex z=\rho \cos(\phi)~~$ |
Exercícios resolvidos de coordenadas esféricas para cartesianas
Os exercícios a seguir são resolvidos usando as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Temos o ponto $latex (10, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ em coordenadas esféricas. Qual é a sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Temos os valores $latex \rho=10,~\theta=\frac{\pi}{4},~\phi=\frac{\pi}{4}$. Agora, usamos esses valores junto com as fórmulas vistas acima para encontrar os valores de x e y. Então o valor de x é:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=10~\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4})$
$latex x=14,14$
O valor de y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=10~\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4})$
$latex y=14,14$
O valor de z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=10~\cos(\frac{\pi}{4})$
$latex z=7,07$
As coordenadas cartesianas do ponto são (14,14, 14,14, 7,07).
EXERCÍCIO 2
O ponto $latex (5, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$ está em coordenadas esféricas. Qual é a sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Podemos reconhecer os valores $latex \rho=5,~\theta=\frac{3\pi}{2},~\phi=\frac{\pi}{3}$. Encontramos os valores de x, y e z usando as fórmulas vistas acima. Começamos com o valor de x:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=5~\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{3\pi}{2})$
$latex x=0$
O valor de y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=5~\sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{3\pi}{2})$
$latex y=-4,33$
O valor de z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=10~\cos(\frac{\pi}{3})$
$latex z=5$
As coordenadas cartesianas do ponto são (0, -4,33, 5).
EXERCÍCIO 3
Se tivermos as coordenadas esféricas $latex (8, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{5})$, qual é sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Podemos ver os valores $latex \rho=8,~\theta=\frac{2\pi}{5},~\phi=\frac{\pi}{5}$. Encontramos os valores de x, y, z usando as fórmulas de transformação. Então o valor de x é:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=8~\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{2\pi}{5})$
$latex x=1,45$
O componente y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=8~\sin(\frac{\pi}{5})\sin(\frac{2\pi}{5})$
$latex y=4,47$
O componente z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=8~\cos(\frac{\pi}{5})$
$latex z=6,47$
As coordenadas cartesianas do ponto são (1,45, 4,47, 6,47).
EXERCÍCIO 4
Temos o ponto $latex (10, \frac{\pi}{4}, \frac{4\pi}{3})$ em coordenadas esféricas. Qual é a sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Reconhecemos os valores $latex \rho=10,~\theta=\frac{\pi}{4},~\phi=\frac{4\pi}{3}$. Usando esses valores com as fórmulas de transformação, vamos encontrar os componentes x, y e z. Então o componente x é:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=10~\sin(\frac{4\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})$
$latex x=-6,12$
O componente y é:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=10~\sin(\frac{4\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$
$latex y=-6,12$
O componente z é:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=10~\cos(\frac{4\pi}{3})$
$latex z=-5$
As coordenadas cartesianas do ponto são (-6,12, -6,12, -5).
Exercícios de coordenadas esféricas para cartesianas para resolver
Use as fórmulas de transformação vistas acima para resolver os exercícios a seguir e converter as coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre coordenadas esféricas e outros sistemas? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
