As coordenadas polares são definidas usando a distância, r, e o ângulo, θ. Por outro lado, as coordenadas retangulares, também conhecidas como coordenadas cartesianas, são definidas por x e por y. Podemos encontrar equações relacionadas a essas coordenadas usando um triângulo retângulo e as funções trigonométricas seno e cosseno.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas polares em retangulares. Em seguida, aplicaremos essas fórmulas resolvendo alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas polares em retangulares.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas polares em retangulares.
Como transformar de coordenadas polares em coordenadas retangulares?
As coordenadas polares têm a forma $latex (r, \theta)$, onde r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo formado pela linha e o eixo x. Coordenadas retangulares ou coordenadas cartesianas têm a forma $latex (x, y)$.
Para transformar de coordenadas polares em coordenadas retangulares, usamos trigonometria e relacionamos essas duas coordenadas.
Consideremos o seguinte diagrama:
Claramente, vemos que podemos encontrar as coordenadas x usando a função cosseno e podemos encontrar as coordenadas y usando a função seno. Assim, temos as fórmulas:
| $latex x=r~\cos(\theta)$ $latex y=r~\sin(\theta)$ |
Exercícios resolvidos de coordenadas polares para retangulares
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando as fórmulas de transformação de coordenadas polares para coordenadas retangulares. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se temos um ponto com coordenadas polares $latex (5, \frac{\pi}{3})$, quais são suas coordenadas retangulares?
Solução
Podemos ver os valores $latex r=5$ e $latex \theta=\frac{\pi}{3}$. Usamos as fórmulas encontradas acima para converter em coordenadas retangulares. Então, o valor de x é encontrado usando a função cosseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=5~\cos(\frac{\pi}{3})$
$latex x=5(0,5)$
$latex x=2,5$
O valor de y é encontrado usando a função seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=5~\sin(\frac{\pi}{3})$
$latex y=5(0,866)$
$latex y=4,33$
Então, as coordenadas retangulares são (2,5, 4,33).
EXERCÍCIO 2
Um ponto tem coordenadas polares $latex (12, \frac{4\pi}{3})$. Quais são suas coordenadas retangulares?
Solução
Começamos reconhecendo os valores $latex r=12$ e $latex \theta=\frac{4\pi}{3}$. Convertemos essas coordenadas aplicando as fórmulas vistas acima. Então, encontramos o valor de x usando a função cosseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=12~\cos(\frac{4\pi}{3})$
$latex x=12(-0,5)$
$latex x=-6$
Agora, encontramos o valor de y usando a função seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=12~\sin(\frac{4\pi}{3})$
$latex y=12(-0,866)$
$latex y=-10,4$
Então, as coordenadas retangulares são (-6, -10,4).
EXERCÍCIO 3
Quais são as coordenadas retangulares do ponto $latex (11, \frac{5\pi}{4})$ que está escrito em coordenadas polares?
Solução
Das coordenadas dadas, temos os valores $latex r=11$ e $latex \theta=\frac{5\pi}{4}$. Substituímos esses valores nas fórmulas de transformação para encontrar as coordenadas retangulares. Então, o valor de x é encontrado usando a função cosseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=11~\cos(\frac{5\pi}{4})$
$latex x=11(-0,707)$
$latex x=-7,78$
O valor de y é encontrado usando a função seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=11~\sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex y=11(-0,707)$
$latex y=-7,78$
Então, as coordenadas retangulares são (-7,78, -7,78).
EXERCÍCIO 4
Se um ponto tem coordenadas polares $latex (20, \frac{\pi}{5})$, quais são suas coordenadas retangulares?
Solução
Temos os valores $latex r=20$ e $latex \theta=\frac{\pi}{5}$. Encontramos o valor de x usando a função cosseno e substituindo estes valores:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=20~\cos(\frac{\pi}{5})$
$latex x=20(0,809)$
$latex x=16,18$
Encontramos o valor de y usando a função seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=20~\sin(\frac{\pi}{5})$
$latex y=20(0,588)$
$latex y=11,76$
Portanto, as coordenadas retangulares são (16,18, 11,76).
Exercícios de coordenadas polares para retangulares para resolver
Pratique o que você aprendeu sobre a transformação de coordenadas polares para retangulares resolvendo os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
