Equação de uma Elipse com Exemplos

Equação de elipses com centro na origem

Equações de elipses centradas na origem podem ter duas variações, dependendo de sua orientação. Podemos ter elipses horizontais ou elipses verticais.

Elipses horizontais centradas na origem

A equação de uma elipse que tem seu centro na origem, (0, 0), e na qual seu eixo maior é paralelo ao eixo x é:

$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

• $latex a>b$
• O eixo maior tem um comprimento de $latex 2a$
• O eixo menor tem um comprimento de $latex 2b$
• Os vértices estão localizados nos pontos $latex (\pm a, 0)$
• Os co-vértices estão localizados nos pontos $latex (0, \pm b)$
• Os focos estão localizados nos pontos $latex (\pm c, 0)$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$

Elipses verticais centradas na origem

A equação de uma elipse que tem seu centro na origem, (0, 0), e na qual seu eixo principal é paralelo ao eixo y é:

$latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$

onde,

• $latex a>b$
• O eixo maior tem um comprimento de $latex 2a$
• O eixo menor tem um comprimento de $latex 2b$
• Os vértices têm as coordenadas $latex (0, \pm a)$
• Os co-vértices tem as coordenadas $latex (\pm b, 0)$
• Os focos têm as coordenadas $latex (0, \pm c)$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$

Determinar a equação para elipses centradas na origem usando vértices e focos

Se conhecermos as coordenadas dos vértices e dos focos, podemos seguir os seguintes passos para encontrar a equação de uma elipse centrada na origem:

Passo 1: Encontramos a localização do eixo principal em relação ao eixo x ou ao eixo y.

1.1. Quando os vértices possuem coordenadas da forma $latex (\pm a, 0)$ e os focos possuem coordenadas da forma $latex (\pm c, 0)$, o eixo maior é paralelo ao eixo x. Nestes casos, usamos a equação $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.

1.2. Quando os vértices possuem coordenadas da forma $latex (0, \pm a)$ e os focos possuem coordenadas da forma $latex (0, \pm c)$, o eixo maior é paralelo ao eixo y. Portanto, usamos a equação $latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$.

Passo 2: Encontramos o valor de $latex {{b}^2}$ usando a equação $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$ junto com as coordenadas dos vértices e focos.

Passo 3: Usamos a forma padrão obtida no passo 1 junto com os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ para determinar a equação da elipse.

Equação de elipses com centro fora da origem

Para obter a equação para elipses com centro fora da origem, usamos a forma padrão de elipses com centro na origem e aplicamos translações. Movendo a elipse h unidades horizontalmente e k unidades verticalmente, seu centro estará em ( h, k ). Portanto, usamos a forma padrão substituindo x por $latex (x-h)$ e y por $latex (y-k)$.

Nestes casos, também temos duas variações da equação da elipse dependendo de sua orientação vertical ou horizontal.

Elipses horizontais com centro fora da origem

Uma elipse que tem um centro em ( h, k ) e na qual seu eixo maior é paralelo ao eixo x tem a equação:

$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

• $latex a>b$
• O comprimento do eixo maior é $latex 2a$
• O comprimento do eixo menor é $latex 2b$
• Os vértices têm as coordenadas $latex (h\pm a, k)$
• Os co-vértices têm as coordenadas $latex (h, k\pm b)$
• Os focos têm as coordenadas $latex (h \pm c, k)$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$

Elipses verticais com centro fora da origem

Uma elipse com centro em ( h, k ) e em que seu eixo maior é paralelo ao eixo y tem a equação:

$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$

onde,

• $latex a>b$
• O eixo maior é $latex 2a$
• O eixo menor é $latex 2b$
• As coordenadas dos vértices são $latex (h, k\pm a)$
• As coordenadas dos co-vértices são $latex (h\pm b, k)$
• As coordenadas dos focos são $latex (h, k\pm c)$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$

Determinar a equação para elipses com centro fora da origem usando vértices e focos

Se conhecermos as coordenadas dos vértices e dos focos, podemos encontrar a equação das elipses com centro fora da origem usando as seguintes etapas:

Passo 1: Encontre a orientação do eixo principal em relação ao eixo x ou ao eixo y.

1.1. Quando as coordenadas y dos vértices são iguais às coordenadas y dos focos, o eixo principal é paralelo ao eixo x. Então, usamos a equação $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$.

1.2. Quando as coordenadas x dos vértices são iguais às coordenadas y dos focos, o eixo maior é paralelo ao eixo y , usamos a equação $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$.

Passo 2: Usamos as coordenadas dos vértices e a fórmula do ponto médio para determinar o centro (h, k).

Passo 3: Usamos o comprimento do eixo maior, 2a, para determinar $latex {{a}^2}$. Por sua vez, este comprimento é encontrado ao determinar a distância entre os dois vértices.

Passo 4: Usamos os valores de h e k juntamente com as coordenadas dos focos para determinar $latex {{c}^2}$.

Passo 5: Usamos a equação $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$ para encontrar o valor de $latex {{b}^2}$.

Passo 6: Usamos os valores de $latex {{a}^2}$, $latex {{b}^2}$, h e k na equação obtida no passo 1.

Veja também

Você quer aprender mais sobre equações de elipses? Olha para estas páginas:

• Equação de uma Elipse com Centro na Origem
• Equação de uma Elipse com Centro Fora da Origem
• Elementos da Elipse com Diagramas