Uma elipse é definida como o conjunto de todos os pontos (x, y) em um plano de forma que a soma de suas distâncias de dois pontos fixos seja constante. Cada ponto fixo é chamado de foco da elipse. Todas as elipses têm duas linhas de simetria. O eixo mais longo é chamado de eixo maior e o eixo mais curto é chamado de eixo menor. Cada ponto extremo do eixo maior é o vértice da elipse e cada ponto extremo do eixo menor é o co-vértice da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio dos eixos maior e menor. Os eixos da elipse são perpendiculares no centro. Os focos estão sempre localizados no eixo maior.
Neste artigo, aprenderemos sobre a equação da elipse centrada na origem. Vamos nos concentrar apenas nas elipses que estão posicionadas vertical ou horizontalmente no plano cartesiano.
Forma padrão de elipses centradas na origem
As formas padrão de equações nos fornecem informações sobre as principais características dos gráficos. As principais características da elipse são seu centro, vértices, coberturas, focos e comprimentos e posições do eixo maior e do eixo menor. Existem quatro variações da forma padrão da elipse. Essas variações dependem primeiro da localização do centro (na origem ou fora da origem) e depois na posição da elipse (vertical ou horizontal).
Equação da elipse horizontal
A forma padrão de uma elipse centrada na origem, (0, 0) e com o eixo principal paralelo ao eixo x é:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- $latex a>b$
- O comprimento do eixo maior é $latex 2a$
- O comprimento do eixo menor é $latex 2b$
- As coordenadas dos vértices são $latex (\pm a, 0)$
- As coordenadas dos co-vértices são $latex (0, \pm b)$
- As coordenadas dos focos são $latex (\pm c, 0)$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Equação da elipse vertical
A equação de uma elipse em sua forma padrão que tem seu centro na origem, (0, 0), e na qual seu eixo maior é paralelo ao eixo y é:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$ |
onde,
- $latex a>b$
- O eixo maior é $latex 2a$
- O eixo menor é $latex 2b$
- As coordenadas dos vértices são $latex (0, \pm a)$
- As coordenadas dos co-vértices são $latex (\pm b, 0)$
- As coordenadas dos focos são $latex (0, \pm c)$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Escrever a equação para elipses centradas na origem usando vértices e focos
Para encontrar a equação de uma elipse centrada na origem dadas as coordenadas dos vértices e dos focos, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Determina se o eixo maior está localizado no eixo x ou no eixo y.
1.1. Se as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (\pm a, 0)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (\pm c, 0)$, então o eixo maior é paralelo ao eixo x e usamos a equação $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Se as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (0, \pm a)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (0, \pm c)$, então o eixo maior é paralelo ao eixo y e usamos a equação $latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$.
Passo 2: Usamos a equação $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$ junto com as coordenadas dos vértices e focos e resolvemos para $latex {{b}^2}$.
Passo 3: Substituímos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na equação obtida no passo 1.
Exercícios resolvidos de equação da elipse com centro na origem
Os exercícios a seguir colocam em prática o que você aprendeu sobre a equação das elipses que têm o centro na origem. Faça cada exercício para entender o processo usado para obter a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre a equação da elipse que possui vértices em (±7, 0) e focos em (±4, 0).
Solução
Os focos estão no eixo x, então o eixo maior está no eixo x. Isso significa que a equação terá a seguinte forma:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
Os vértices são $latex (\pm 7, 0)$, pelo que $latex a=7$ e temos $latex {{a}^2}=64$.
Os focos são $latex (\pm 4, 0)$, pelo que $latex c=4$ e temos $latex {{c}^2}=16$.
Agora, usamos a equação $latex {{c}^2} = {{a}^2} – {{b}^2}$ para obter o valor de $latex {{b}^2}$. Então, temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
$latex 16=64-{{b}^2}$
$latex {{b}^2}=48$
Temos que substituir os valores obtidos na equação padrão. Portanto, a equação da elipse é:
$latex \frac{{{x}^2}}{64}+\frac{{{y}^2}}{48}=1$
EXERCÍCIO 2
Qual é a equação da elipse que tem vértices em (0, ±9) e focos em (0, ±6)?
Solução
Nesse caso, os focos estão no eixo y. Isso significa que o eixo maior está no eixo y . Portanto, a equação terá a seguinte forma:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$
Os vértices são $latex (0, \pm 9)$, pelo que $latex a=9$ e temos $latex {{a}^2}=81$.
Os focos são $latex (0, \pm 6)$, pelo que $latex c=6$ e temos $latex {{c}^2}=64$.
Usando a equação $latex {{c}^2} = {{a}^2} – {{b}^2}$, podemos obter o valor de $latex {{b}^2}$. Então, temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
$latex 64=81-{{b}^2}$
$latex {{b}^2}=17$
Usando esses valores, temos a seguinte equação para a elipse:
$latex \frac{{{x}^2}}{17}+\frac{{{y}^2}}{81}=1$
Exercícios de equação da elipse com centro na origem para resolver
Coloque em prática o que você aprendeu para resolver os seguintes exercícios. Encontre as equações das elipses com as informações fornecidas. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
