As hipérboles são formadas pelo conjunto de todos os pontos no plano cartesiano de forma que a diferença das distâncias entre qualquer ponto e os focos seja igual a uma constante. As hipérboles têm duas linhas de simetria. O eixo transversal é definido como o segmento que une os dois vértices e passa pelo centro. O eixo conjugado é o segmento que conecta os dois co-vértices e é perpendicular ao eixo transversal. Os focos estão localizados na linha que contém o eixo transversal. O centro da hipérbole está localizado no ponto de intersecção do eixo transversal e do eixo conjugado. As duas assíntotas da hipérbole também se cruzam no centro.
Existem quatro variações da equação de uma hipérbole. Primeiro, temos duas variações dependendo da localização do centro. O centro pode estar localizado na origem ou fora da origem. Além disso, temos duas variações, dependendo se a hipérbole está orientada horizontalmente ou verticalmente.
Equação de hipérboles centrada na origem
A equação de uma hipérbole que tem o centro na origem tem duas variações que dependem de sua orientação. Quando o eixo transversal (segmento conectando os vértices) da hipérbole está localizado no eixo x, a hipérbole é orientada horizontalmente.
Quando o eixo transversal está localizado no eixo y, a hipérbole é orientada verticalmente.
Hipérbole orientada horizontalmente
Quando a hipérbole está centrada na origem, (0, 0) e seu eixo transversal está no eixo x, sua equação na forma padrão é:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- O comprimento do eixo transversal é $latex 2a$
- Os vértices têm as coordenadas $latex (\pm a, 0)$
- O eixo conjugado (segmento que une os co-vértices) tem um comprimento de $latex 2b$
- Os co-vértices têm as coordenadas $latex (0, \pm b)$
- A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Los focos tienen las coordenadas $latex (\pm c, 0)$
- As assíntotas têm as equações $latex y=\pm \frac{b}{a}x$
Hipérbole orientada verticalmente
Uma hipérbole que está centrada na origem, (0, 0), e que tem seu eixo transversal no eixo y, tem a equação geral:
$latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- $latex 2a$ representa o comprimento do eixo transversal
- Os vértices estão localizados em $latex (0, \pm a)$
- $latex 2b$ representa o comprimento do eixo conjugado
- Os covértices estão localizados em $latex (\pm b, 0)$
- $latex 2c$ representa a distância entre os focos, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Los focos están ubicados en $latex (0, \pm c)$
- As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{a}{b}x$
Usar vértices e focos para encontrar a equação das hipérboles centradas na origem
Quando uma hipérbole está centrada na origem, podemos usar as coordenadas dos vértices e focos junto com os seguintes passos para encontrar sua equação:
Passo 1: Determine a localização do eixo transversal em relação ao eixo x ou no eixo y para encontrar sua orientação.
1.1. Uma hipérbole é orientada horizontalmente quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (\pm a, 0)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (\pm c, 0)$. Nestes casos, usamos a forma $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Uma hipérbole é orientada verticalmente quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (0, \pm a)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (0, \pm c)$. Nestes casos, temos a forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$.
Passo 2: Encontramos o valor de $latex {{b}^2}$, usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$.
Passo 3: Substituímos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na forma geral do passo 1.
EXEMPLO
Se temos uma hipérbole que possui vértices em (±5, 0) e focos em (±6, 0), qual é sua equação?
Solução
Olhando as coordenadas dos focos e vértices, concluímos que eles estão localizados no eixo x . Portanto, sabemos que o eixo transversal está no eixo x e a equação terá a seguinte forma:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
Usando os vértices $latex (\pm 5, 0 )$, obtemos o valor $latex a=5$ e temos $latex {{a}^2}=25$.
Usando os focos $latex (\pm 6,0)$, obtemos o valor $latex c=6$ e temos $latex {{c}^2}=36$.
Usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$, encontramos o valor de $latex {{b}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex {{b}^2}=36-25$
$latex {{b}^2}=11$
Usando os valores que encontramos, definimos a equação da hipérbole:
$latex \frac{{{x}^2}}{25}-\frac{{{y}^2}}{11}=1$
Equação de hipérbole centrada fora da origem
Podemos obter a equação das hipérboles centradas fora da origem aplicando uma translação à equação geral. Se movermos as unidades da hipérbole h no eixo x e unidades k no eixo y, o novo centro ficará localizado em (h, k). Nesse caso, a equação da hipérbole também depende de sua orientação.
Hipérbole horizontalmente orientada com centro fora da origem
Quando a hipérbole tem seu centro no ponto $latex (h, k)$ e seu eixo transversal é paralelo ao eixo x, sua equação é:
$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- h é o componente x do centro e k é o componente y do centro
- O eixo transversal tem um comprimento de $latex 2a$
- As coordenadas dos vértices são $latex (h\pm a, k)$
- O eixo conjugado tem um comprimento de $latex 2b$
- As coordenadas dos co-vértices são $latex (h, k\pm b)$
- A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- As coordenadas dos focos são $latex (h\pm c, 0)$
- As assíntotas têm as equações $latex y=\pm \frac{b}{a}(x-h)+k$
Hipérbole orientada verticalmente com centro fora da origem
Se uma hipérbole está centrada em $latex (h, k)$ e seu eixo transversal é paralelo ao eixo y, sua equação é:
$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- h é o componente x do centro e k é o componente y do centro
- O eixo transversal é $latex 2a$
- Os vértices têm as coordenadas $latex (h, k\pm a)$
- O eixo conjugado é $latex 2b$
- Os co-vértices têm as coordenadas $latex (h\pm b, k)$
- A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- As coordenadas dos focos são $latex (h, k\pm c)$
- As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{a}{b}(x-h)+k$
Usar vértices e focos para encontrar a equação para hipérboles centradas fora da origem
A equação de uma hipérbole que está centrada fora da origem pode ser encontrada usando os seguintes passos:
Passo 1: Determine se o eixo transversal é paralelo ao eixo x ou paralelo ao eixo y para encontrar a orientação da hipérbole.
1.1. Uma hipérbole é orientada horizontalmente se as coordenadas y dos vértices forem iguais às coordenadas y dos focos. Neste caso, usamos a equação $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Uma hipérbole é orientada verticalmente se as coordenadas x dos vértices forem iguais às coordenadas x dos focos. Neste caso, usamos a equação $latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$.
Passo 2: O centro da hipérbole, $latex (h, k)$, é encontrado usando as coordenadas dos vértices e a fórmula do ponto médio.
Passo 3: Encontramos $latex {{a}^2}$ usando a distância entre os vértices, $latex 2a$.
Passo 4: O valor de c é encontrado usando as coordenadas dos focos e os valores de h e k.
Passo 5: O valor de $latex {{b}^2}$ é encontrado usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$.
Passo 6: Usamos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na equação geral do passo 1.
EXEMPLO
Qual é a equação de uma hipérbole que tem focos em (2, 0), (2, 6) e vértices em (2, 1), (2, 5)?
Solução
Notamos que as coordenadas x dos focos e vértices são iguais, então o eixo transversal é paralelo ao eixo y. Isso significa que a equação da hipérbole tem a forma:
$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Encontramos o centro usando a fórmula do ponto médio e as coordenadas dos vértices (2, 1) e (2, 5):
$latex (h, k)=(\frac{2+2}{2}, \frac{1+5}{2})$
$latex =(2, 3)$
Encontramos o valor de $latex {{a}^2}$ usando o comprimento do eixo transversal, 2a. Por sua vez, o comprimento do eixo transversal é igual à diferença nas coordenadas y dos vértices:
$latex 2a=|5-1|$
$latex 2a=4$
$latex a=2$
$latex {{a}^2}=4$
O valor de $latex {{c}^2}$ é encontrado usando as coordenadas dos focos, $latex (h, k \pm c)$. Podemos formar as equações $latex (h, k-c)=(2, 0)$ e $latex (h, k+c)=(2, 6)$. Agora, usamos uma das equações para encontrar o valor de c:
$latex k+c=6$
$latex 3+c=6$
$latex c=3$
$latex {{c}^2}=9$
Usamos a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar o valor de $latex {{b}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex =9-4$
$latex =5$
Usando os valores de h, k, $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na forma geral, temos:
$latex \frac{{{(y-3)}^2}}{4}-\frac{{{(y-2)}^2}}{5}=1$
Veja também
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