Equação da Hipérbole com Exemplos

As hipérboles são formadas pelo conjunto de todos os pontos no plano cartesiano de forma que a diferença das distâncias entre qualquer ponto e os focos seja igual a uma constante. As hipérboles têm duas linhas de simetria. O eixo transversal é definido como o segmento que une os dois vértices e passa pelo centro. O eixo conjugado é o segmento que conecta os dois co-vértices e é perpendicular ao eixo transversal. Os focos estão localizados na linha que contém o eixo transversal. O centro da hipérbole está localizado no ponto de intersecção do eixo transversal e do eixo conjugado. As duas assíntotas da hipérbole também se cruzam no centro.

Partes e componentes de hipérboles

Existem quatro variações da equação de uma hipérbole. Primeiro, temos duas variações dependendo da localização do centro. O centro pode estar localizado na origem ou fora da origem. Além disso, temos duas variações, dependendo se a hipérbole está orientada horizontalmente ou verticalmente.

PRÉ-CÁLCULO
coordenadas-dos-elementos-de-uma-hipérbole-horizontal centrada na origem

Relevante para

Aprender a determinar a equação de uma hipérbole.

Ver equações

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Equação de hipérboles centrada na origem

A equação de uma hipérbole que tem o centro na origem tem duas variações que dependem de sua orientação. Quando o eixo transversal (segmento conectando os vértices) da hipérbole está localizado no eixo x, a hipérbole é orientada horizontalmente.

Quando o eixo transversal está localizado no eixo y, a hipérbole é orientada verticalmente.

Hipérbole orientada horizontalmente

Quando a hipérbole está centrada na origem, (0, 0) e seu eixo transversal está no eixo x, sua equação na forma padrão é:

$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

  • O comprimento do eixo transversal é $latex 2a$
  • Os vértices têm as coordenadas $latex (\pm a, 0)$
  • O eixo conjugado (segmento que une os co-vértices) tem um comprimento de $latex 2b$
  • Os co-vértices têm as coordenadas $latex (0, \pm b)$
  • A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
  • Los focos tienen las coordenadas $latex (\pm c, 0)$
  • As assíntotas têm as equações $latex y=\pm \frac{b}{a}x$
coordenadas-dos-elementos-de-uma-hipérbole-horizontal centrada na origem

Hipérbole orientada verticalmente

Uma hipérbole que está centrada na origem, (0, 0), e que tem seu eixo transversal no eixo y, tem a equação geral:

$latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

  • $latex 2a$ representa o comprimento do eixo transversal
  • Os vértices estão localizados em $latex (0, \pm a)$
  • $latex 2b$ representa o comprimento do eixo conjugado
  • Os covértices estão localizados em $latex (\pm b, 0)$
  • $latex 2c$ representa a distância entre os focos, onde,  $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
  • Los focos están ubicados en $latex (0, \pm c)$
  • As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{a}{b}x$
coordenadas-dos-elementos-de-uma-hipérbole-vertical centrada na origem

Usar vértices e focos para encontrar a equação das hipérboles centradas na origem

Quando uma hipérbole está centrada na origem, podemos usar as coordenadas dos vértices e focos junto com os seguintes passos para encontrar sua equação:

Passo 1: Determine a localização do eixo transversal em relação ao eixo ou no eixo para encontrar sua orientação.

1.1. Uma hipérbole é orientada horizontalmente quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (\pm a, 0)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (\pm c, 0)$. Nestes casos, usamos a forma $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.

1.2. Uma hipérbole é orientada verticalmente quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (0, \pm a)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (0, \pm c)$. Nestes casos, temos a forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$.

Passo 2: Encontramos o valor de $latex {{b}^2}$, usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$.

Passo 3: Substituímos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na forma geral do passo 1.

EXEMPLO 

Se temos uma hipérbole que possui vértices em (±5, 0) e focos em (±6, 0), qual é sua equação?

Solução

Equação de hipérbole centrada fora da origem

Podemos obter a equação das hipérboles centradas fora da origem aplicando uma translação à equação geral. Se movermos as unidades da hipérbole h no eixo x e unidades k no eixo y, o novo centro ficará localizado em (h, k). Nesse caso, a equação da hipérbole também depende de sua orientação.

Hipérbole horizontalmente orientada com centro fora da origem

Quando a hipérbole tem seu centro no ponto $latex (h, k)$ e seu eixo transversal é paralelo ao eixo x, sua equação é:

$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

  • h é o componente x do centro e k é o componente do centro
  • O eixo transversal tem um comprimento de $latex 2a$
  • As coordenadas dos vértices são $latex (h\pm a, k)$
  • O eixo conjugado tem um comprimento de $latex 2b$
  • As coordenadas dos co-vértices são $latex (h, k\pm b)$
  • A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
  • As coordenadas dos focos são $latex (h\pm c, 0)$
  • As assíntotas têm as equações $latex y=\pm \frac{b}{a}(x-h)+k$
coordenadas-dos-elementos-de-uma-hipérbole-horizontal centrada fora da origem

Hipérbole orientada verticalmente com centro fora da origem

Se uma hipérbole está centrada em $latex (h, k)$ e seu eixo transversal é paralelo ao eixo y, sua equação é:

$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$

onde,

  • h é o componente x do centro e k é o componente y do centro
  • O eixo transversal é $latex 2a$
  • Os vértices têm as coordenadas $latex (h, k\pm a)$
  • O eixo conjugado é $latex 2b$
  • Os co-vértices têm as coordenadas $latex (h\pm b, k)$
  • A distância entre os focos é $latex 2c$, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
  • As coordenadas dos focos são $latex (h, k\pm c)$
  • As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{a}{b}(x-h)+k$
coordenadas-dos-elementos-de-uma-hipérbole-vertical centrada fora da origem

Usar vértices e focos para encontrar a equação para hipérboles centradas fora da origem

A equação de uma hipérbole que está centrada fora da origem pode ser encontrada usando os seguintes passos:

Passo 1: Determine se o eixo transversal é paralelo ao eixo x ou paralelo ao eixo para encontrar a orientação da hipérbole.

1.1. Uma hipérbole é orientada horizontalmente se as coordenadas y dos vértices forem iguais às coordenadas y dos focos. Neste caso, usamos a equação $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$.

1.2. Uma hipérbole é orientada verticalmente se as coordenadas x dos vértices forem iguais às coordenadas x dos focos. Neste caso, usamos a equação $latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$.

Passo 2: O centro da hipérbole, $latex (h, k)$, é encontrado usando as coordenadas dos vértices e a fórmula do ponto médio.

Passo 3: Encontramos $latex {{a}^2}$ usando a distância entre os vértices, $latex 2a$.

Passo 4: O valor de c é encontrado usando as coordenadas dos focos e os valores de h e k.

Passo 5: O valor de $latex {{b}^2}$ é encontrado usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$.

Passo 6: Usamos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na equação geral do passo 1.

EXEMPLO

Qual é a equação de uma hipérbole que tem focos em (2, 0), (2, 6) e vértices em (2, 1), (2, 5)?

Solução

Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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