Uma hipérbole é uma seção cônica formada pela intersecção de um cone reto por um plano em um ângulo onde as duas bases se cruzam. A hipérbole é composta por dois ramos que são um reflexo um do outro. A hipérbole também é definida como o conjunto de todos os pontos no plano cartesiano de forma que a diferença das distâncias entre qualquer ponto e os focos seja igual a uma constante.
As hipérboles têm duas linhas de simetria. O eixo transversal é o segmento que passa pelo centro e que une os vértices. Os focos estão localizados na linha que contém o eixo transversal. O eixo conjugado é perpendicular ao eixo transversal e se conecta aos co-vértices. O centro é o ponto de intersecção do eixo transversal e do eixo conjugado. As hipérboles também têm duas assíntotas, que também se cruzam no centro.
- Forma padrão de hipérboles centradas na origem
- Encontrar os vértices e focos de uma hipérbole centrada na origem
- Determinar a equação das hipérboles usando vértices e focos
- Exercícios resolvidos de equação de hipérboles com centro na origem
- Exercícios de equação de hipérboles com centro na origem para resolver
- Veja também
Forma padrão de hipérboles centradas na origem
A forma padrão de uma hipérbole nos dá informações sobre a localização dos vértices e dos focos e a partir daí podemos definir a hipérbole completamente. Existem duas variações das equações da hipérbole que têm o centro na origem dependendo de sua orientação. Podemos ter hipérboles posicionadas horizontalmente ou verticalmente no plano cartesiano.
Equação da hipérbole horizontal
A forma padrão de uma hipérbole que tem seu centro em (0, 0) e cujo eixo transversal está no eixo x é:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- $latex 2a$ é o comprimento do eixo transversal (segmento que une os vértices)
- As coordenadas do vértice são $latex (\pm a, 0)$
- $latex 2b$ é o comprimento do eixo conjugado (segmento que une os co-vértices)
- As coordenadas dos co-vértices são $latex (0, \pm b)$
- $latex 2c$ é a distância entre os focos
- Encontramos c usando $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- As coordenadas dos focos são $latex (\pm c, 0)$
- As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{b}{a}x$
Equação da hipérbole vertical
Quando a hipérbole tem o centro na origem, (0, 0), e seu eixo transversal é o eixo y , sua equação é:
| $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
onde,
- $latex 2a$ é o comprimento do eixo transversal
- As coordenadas do vértice são $latex (0, \pm a)$
- $latex 2b$ é o comprimento do eixo conjugado
- As coordenadas dos co-vértices são $latex (\pm b, 0)$
- $latex 2c$ é a distância entre os focos, onde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- As coordenadas dos focos são $latex (0, \pm c)$
- As equações das assíntotas são $latex y=\pm \frac{a}{b}x$
Encontrar os vértices e focos de uma hipérbole centrada na origem
Podemos encontrar os vértices e os focos usando a equação de uma hipérbole e seguindo estas etapas:
Determine a orientação da hipérbole descobrindo se o eixo transversal está localizado no eixo x ou no eixo y:
Caso 1. Se a equação tiver a forma $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$, o eixo transversal está localizado no eixo x. As coordenadas dos vértices são $latex (\pm a, 0)$ e as coordenadas dos focos são $latex (\pm c, 0)$.
Caso 2. Se a equação tiver a forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$. As coordenadas dos vértices são $latex (0, \pm a)$e as coordenadas dos focos são $latex (0, \pm c)$.
Podemos encontrar o valor de a usando a equação $latex a=\sqrt{{{a}^2}}$.
Podemos encontrar o valor de c usando a equação $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$.
Determinar a equação das hipérboles usando vértices e focos
Para encontrar a equação de uma hipérbole centrada na origem, se conhecermos as coordenadas dos vértices e dos focos, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Determine a orientação da hipérbole. Isso exige que descubramos se o eixo cruzado está localizado no eixo x ou no eixo y.
1.1. Quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (\pm a, 0)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (\pm c, 0)$, o eixo transversal está no eixo x e usamos a equação $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Quando as coordenadas dos vértices têm a forma $latex (0, \pm a)$ e as coordenadas dos focos têm a forma $latex (0, \pm c)$, o eixo transversal está no eixo y e usamos a equação $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$.
Passo 2: Usamos a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar o valor de $latex {{b}^2}$.
Passo 3: Usamos os valores de $latex {{a}^2}$ e $latex {{b}^2}$ na equação obtida no passo 1.
Exercícios resolvidos de equação de hipérboles com centro na origem
Os métodos e passos usados para encontrar as equações das hipérboles e as coordenadas dos vértices e focos vistos acima são aplicados para resolver os seguintes exercícios. Observe os exercícios com atenção e analise o processo usado.
EXERCÍCIO 1
Quais são os vértices e focos da hipérbole que possui a equação $latex \frac{{{y}^2}}{16} – \frac{{{x}^2}}{9} = 1$.
Solução
Podemos ver que a equação tem a forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$, portanto, o eixo transversal está localizado no eixo y. Como a hipérbole está centrada na origem, os vértices são as interceptações y do gráfico. Para encontrar os vértices, usamos $latex x = 0$ e resolvemos para y :
$latex \frac{{{y}^2}}{16}-\frac{{{x}^2}}{9}=1$
$latex \frac{{{y}^2}}{16}-\frac{0}{9}=1$
$latex \frac{{{y}^2}}{16}=1$
$latex {{y}^2}=16$
$latex y=\pm 4$
Os vértices estão localizados em $latex (0,\pm 4)$.
Agora, usamos a equação $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$ para obter o valor de c . Então, temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex c=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex c=\sqrt{16+9}$
$latex c=\sqrt{25}$
$latex c=\pm 5$
Os focos estão localizados em $latex (0, \pm 5)$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a equação da hipérbole que possui vértices em (±4, 0) e focos em (±5, 0)?
Solução
Os focos e vértices estão localizados no eixo x . Isso significa que o eixo transversal está no eixo x. Portanto, a equação terá a seguinte forma:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
Os vértices são $latex (\pm 4, 0 )$, então $latex a = 4$ e temos $latex {{a}^2}=16$.
Os focos são $latex (\pm 5,0)$, então $latex c=5$ e temos $latex {{c}^2}=25$.
Determinamos o valor de $latex {{b}^2}$ usando a equação $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex {{b}^2}=25-16$
$latex {{b}^2}=9$
Usando esses valores, temos a seguinte equação de hipérbole:
$latex \frac{{{x}^2}}{16}-\frac{{{y}^2}}{9}=1$
Exercícios de equação de hipérboles com centro na origem para resolver
Use o que você aprendeu para resolver os seguintes exercícios de equação de hipérbole. Veja os exercícios resolvidos acima caso precise de ajuda com isso.
Veja também
Você quer aprender mais sobre equações de hipérbole? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
