Equação da Circunferência que Passa por Três Pontos

A circunferência é definida como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo denominado centro. A distância constante do centro a qualquer ponto da circunferência é chamada de raio. É possível encontrar a equação da circunferência se conhecermos três pontos pelos quais ela passa. Isso requer inserir os valores conhecidos na equação geral da circunferência e formar um sistema de três equações. Os valores das constantes ausentes podem ser encontrados resolvendo o sistema de equações.

A seguir, veremos alguns exemplos do processo utilizado.

GEOMETRIA

diagrama para a equação da circunferência usando três pontos

Relevante para…

Encontrar a equação da circunferência que passa por três pontos.

Ver equação

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GEOMETRIA

Relevante para…

Encontrar a equação da circunferência que passa por três pontos.

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Encontrando a equação da circunferência usando três pontos

A equação de umaa circunferência pode ser encontrada usando as coordenadas de três pontos que se encontram na circunferência.

Suponha que temos os pontos $latex P=(x_{1}, ~y_{1})$, $latex Q=(x_{2}, ~y_{2})$ e $latex R=(x_{3}, ~y_{3})$. Podemos observar isso no diagrama a seguir:

Podemos escrever a equação de um círculo na seguinte forma geral:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2ax+2by+c=0$ (1)

Podemos substituir os pontos $latex P=(x_{1}, ~y_{1})$, $latex Q=(x_{2}, ~y_{2})$ e $latex R=(x_{3}, ~y_{3})$ na equação dada para formar diferentes equações, uma para cada par de coordenadas. Então, temos:

$latex {{x_{1}}^2}+{{y_{1}}^2}+2ax_{1}+2by_{1}+c=0$ (2)

$latex {{x_{2}}^2}+{{y_{2}}^2}+2ax_{2}+2by_{2}+c=0$ (3)

$latex {{x_{3}}^2}+{{y_{3}}^2}+2ax_{3}+2by_{3}+c=0$ (4)

Com as equações (2), (3) e (4) formamos um sistema de equações e encontramos os valores das constantes a, b e c . Em seguida, conectamos esses valores na equação (1) para encontrar a equação para a circunferência necessária.

Exercícios resolvidos de equação da circunferência que passa por três pontos

Os exercícios a seguir podem ser usados para entender o processo usado para encontrar a equação de uma circunferência se conhecermos as coordenadas de três pontos diferentes que fazem parte da circunferência.

EXERCÍCIO 1

Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos (1, 0), (-1, 0) e (0, 1).

Solução

A equação da circunferência em sua forma geral é $latex {{x}^2} + {{y}^2} + 2ax + 2ay + c = 0$. Usando as coordenadas dos pontos dados, podemos formar as seguintes equações:

$latex 1+2a+c=0$ (1)

$latex 1-2a+c=0$ (2)

$latex 1+2b+c=0$ (3)

Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para obter $latex 4a = 0$. Isso significa que $latex a = 0$.

Substituindo o valor $latex a = 0$ na equação (1), obtemos $latex c = -1$. Finalmente, se substituirmos o valor $latex c = -1$ na equação (3), temos $latex b = 0$.

Se substituirmos os valores de a, b e c na equação geral, temos:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2ax+2ay+c=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2(0)x+2(0)y+-1=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}-1=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}=1$

EXERCÍCIO 2

Qual é a equação da circunferência que passa pelos pontos (1, -6), (2, 1) e (5, 2)? Determine o comprimento de seu raio e as coordenadas de seu centro.

Solução

A seguir está a equação de uma circunferência em sua forma geral:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2ax+2ay+c=0$

Usamos esta equação com as coordenadas dos pontos dados para formar um sistema de três equações.

Usando o ponto (1, -6), temos:

$latex 1+36+2a-12b+c=0$

$latex 2a-12b+c=-37$ (1)

Usando o ponto (2, 1), temos:

$latex 4+1+4a+2b+c=0$

$latex 4a+2b+c=-5$ (2)

Usando o ponto (5, 2), temos:

$latex 25+4+10a+4b+c=0$

$latex 10a+4b+c=-29$ (3)

Se subtrairmos a equação (1) de (2), temos:

$latex 2a+14b=32$

⇒ $latex a+7b=16$ (4)

Agora, se subtrairmos a equação (1) de (3), obteremos:

$latex 8a+16b=8$

⇒ $latex a+2b=1$ (5)

Resolvendo as equações (4) e (5), obtemos $latex a = -5$ e $latex b = 3$. Finalmente, usando os valores de a e b na equação (2), obtemos $latex c = 9$.

Se substituirmos os valores de a, b e c na equação geral, temos:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2ax+2ay+c=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+2(-5)x+2(3)y+9=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}-10x+6x+9=0$

As coordenadas do seu centro são $latex (-a, -b)=(5, -3)$ e o raio é $latex \sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-c}=\sqrt{25+9-9}=5$.