A circunferência é formada por um conjunto de pontos localizados a uma distância constante de um ponto fixo. A distância constante é chamada de raio da circunferência e o ponto fixo é chamado de centro. A equação da circunferência em sua forma geral é obtida expandindo a equação usada quando a circunferência tem um centro fora da origem.
A seguir, conheceremos a equação da circunferência em sua forma geral e a usaremos em alguns exercícios práticos.
Forma geral da equação de uma circunferência
Lembre-se de que uma circunferência com centro no ponto $latex (h, k)$ e com raio r pode ser escrita como a seguinte equação:
$latex {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}$
Se expandirmos os parênteses quadrados, temos:
$${{x}^2}+{{y}^2}-2hx-2ky+{{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}=0$$
Se fizermos as substituições $latex A=-2h$, $latex B=-2k$, $latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$ na equação expandida, temos:
| $latex {{x}^2}+{{y}^2}+Ax+Bx+C=0$ |
Esta é a equação da circunferência em sua forma geral. Se tivermos uma equação de uma circunferência nesta forma, podemos obter o centro e o raio do círculo usando as seguintes substituições:
$latex A=-2h$ $latex B=-2k$ $latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$
Resolvendo essas expressões em termos de h, k e r , temos:
$latex h=-\frac{A}{2}$
$latex k=-\frac{B}{2}$
$latex {{r}^2}={{h}^2}+{{k}^2}-C$
$latex {{r}^2}={{(-\frac{A}{2})}^2}+{{(-\frac{B}{2})}^2}-C$
$latex {{r}^2}=\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}$
Na equação original, sabemos que o centro da circunferência é o ponto $latex (h, k)$. Isso significa que o centro da circunferência em sua forma geral é $latex (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$ e o raio é $latex r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}$
Exercícios resolvidos de equação da circunferência em sua forma geral
Os exercícios a seguir mostram o processo usado para resolver a equação dos exercícios de circunferência de forma geral. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se tivermos a circunferência $latex {{x}^2} + {{y}^2} -2x + 4y-4 = 0$, qual é seu centro e seu raio?
Solução
A seguir está o gráfico desta equação:
Usando as expressões derivadas acima, sabemos que o centro de uma circunferência em sua forma geral é dado por:
$latex (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})=(-\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2})=(1, -2)$
e o raio é dado por:
$latex r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{{{(-2)}^2}+{{4}^2}-4(-4)}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{36}{4}}$
$latex =\frac{6}{2}=3$
Portanto, o raio do círculo é 3 e o centro é o ponto (1, -2).
EXERCÍCIO 2
Encontre o centro e o raio da circunferência $latex {{x}^2} + {{y}^2} + 6x-2y + 3 = 0$.
Solução
Usamos as expressões fornecidas e identificamos os respectivos parâmetros. Portanto, o centro de uma circunferência em sua forma geral é dado por:
$latex (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})=(-\frac{6}{2}, -\frac{-2}{2})=(-3, 1)$
e o raio é dado por:
$latex r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{{{6}^2}+{{(-2)}^2}-4(3)}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{36+4-12}{4}}$
$latex =\sqrt{\frac{28}{4}}$
$latex =\sqrt{7}$
Então, o raio da circunferência é $latex \sqrt{7}$ e o centro é o ponto (-3, 1).
EXERCÍCIO 3
Encontre a equação da circunferência em sua forma geral que tem um raio de 2 e um centro em (2, 2).
Solução
Para encontrar a equação da circunferência em sua forma geral, temos que encontrar o valor das constantes A, B e C . Então, vamos usar as expressões fornecidas acima lembrando que o centro do círculo é $latex (h, k)$:
$latex A=-2h=-2(2)=-4$
$latex B=-2k=-2(2)=-4$
$latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$
$latex C={{2}^2}+{{2}^2}-{{2}^2}$
$latex C=4+4-4=4$
Agora, formamos a equação da circunferência com os valores encontrados:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}+Ax+By+C=0$
$latex {{x}^2}+{{y}^2}-4x-4y+4=0$
EXERCÍCIO 4
Qual é a equação da circunferência que tem um raio de 4 e um centro em (3, -2)?
Solução
Encontramos os valores das constantes A, B e C usando as expressões fornecidas acima:
$latex A=-2h=-2(3)=-6$
$latex B=-2k=-2(-2)=4$
$latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$
$latex C={{3}^2}+{{(-2)}^2}-{{4}^2}$
$latex C=9+4-16=-3$
Agora, formamos a equação da circunferência com os valores encontrados:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}+Ax+By+C=0$
$latex {{x}^2}+{{y}^2}-6x+4y-3=0$
Exercícios da equação da circunferência em sua forma geral para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando o que aprendeu sobre as equações da circunferência em geral. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
