Equação da Circunferência em sua Forma Geral

A seguir está o gráfico desta equação:

Usando as expressões derivadas acima, sabemos que o centro de uma circunferência em sua forma geral é dado por:

$latex (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})=(-\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2})=(1, -2)$

e o raio é dado por:

$latex r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{{{(-2)}^2}+{{4}^2}-4(-4)}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{36}{4}}$

$latex =\frac{6}{2}=3$

Portanto, o raio do círculo é 3 e o centro é o ponto (1, -2).

Usamos as expressões fornecidas e identificamos os respectivos parâmetros. Portanto, o centro de uma circunferência em sua forma geral é dado por:

$latex (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})=(-\frac{6}{2}, -\frac{-2}{2})=(-3, 1)$

e o raio é dado por:

$latex r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{{{6}^2}+{{(-2)}^2}-4(3)}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{36+4-12}{4}}$

$latex =\sqrt{\frac{28}{4}}$

$latex =\sqrt{7}$

Então, o raio da circunferência é $latex \sqrt{7}$ e o centro é o ponto (-3, 1).

Para encontrar a equação da circunferência em sua forma geral, temos que encontrar o valor das constantes A, B e C . Então, vamos usar as expressões fornecidas acima lembrando que o centro do círculo é $latex (h, k)$:

$latex A=-2h=-2(2)=-4$

$latex B=-2k=-2(2)=-4$

$latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$

$latex C={{2}^2}+{{2}^2}-{{2}^2}$

$latex C=4+4-4=4$

Agora, formamos a equação da circunferência com os valores encontrados:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+Ax+By+C=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}-4x-4y+4=0$

Encontramos os valores das constantes A, B e C usando as expressões fornecidas acima:

$latex A=-2h=-2(3)=-6$

$latex B=-2k=-2(-2)=4$

$latex C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}$

$latex C={{3}^2}+{{(-2)}^2}-{{4}^2}$

$latex C=9+4-16=-3$

Agora, formamos a equação da circunferência com os valores encontrados:

$latex {{x}^2}+{{y}^2}+Ax+By+C=0$

$latex {{x}^2}+{{y}^2}-6x+4y-3=0$