Uma circunferência é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado de centro e a distância do centro a um ponto na circunferência é chamada de raio. A equação da circunferência com o centro na origem é encontrada usando o teorema de Pitágoras no plano cartesiano.
A seguir, derivaremos essa equação e a aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Circunferências centradas na origem
Para encontrar a equação da circunferência centrada na origem, podemos usar o plano cartesiano em conjunto com o teorema de Pitágoras. Desenhamos uma circunferência como no diagrama a seguir:
Vemos que a circunferência tem seu centro no ponto (0, 0). Desenhamos o ponto (x, y) que está localizado na circunferência. Além disso, também desenhamos um triângulo retângulo que conecta o centro com o ponto (x, y).
A base do triângulo é igual à coordenada x do ponto e a altura é igual à coordenada y. Notamos também que a hipotenusa do triângulo é igual ao raio. Portanto, podemos formar a seguinte equação:
| $latex {{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}$ |
Esta é a equação da circunferência centrada na origem, onde r é o raio e (x, y) é qualquer ponto localizado na circunferência.
Exercícios resolvidos de equação da circunferência centrada na origem
Os exercícios a seguir colocam em prática o uso da equação da circunferência centrada na origem. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o raio da circunferência representada pela equação $latex {{x}^2}+{{y}^2}=4$.
Solução
A seguir está o gráfico desta equação:
Sabemos que um círculo tem a equação geral $latex {{x}^2} + {{y}^2} = {{r}^2}$. Comparando a equação geral com a equação da circunferência dada, sabemos que temos:
$latex {{r}^2}=4$
$latex r=2$
Portanto, o raio da circunferência é 2.
EXERCÍCIO 2
Encontre a equação da circunferência que tem um raio de 5 e é centralizada na origem.
Solução
Usamos a equação geral da circunferência e inserimos o valor $latex r = 5$. Então, temos:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}$
$latex {{x}^2}+{{y}^2}={{5}^2}$
$latex {{x}^2}+{{y}^2}=25$
EXERCÍCIO 3
Encontre a equação da circunferência que passa pelo ponto (3, 5).
Solução
O ponto (3, 5) está localizado na circunferência. Isso significa que temos as coordenadas $latex x = 3$ e $latex y = 5$. Então, usamos a equação da circunferência com essas coordenadas para encontrar o raio do círculo:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}$
$latex {{3}^2}+{{5}^2}={{r}^2}$
$latex 9+25={{r}^2}$
$latex {{r}^2}=34$
Agora, inserimos esse valor na equação geral para obter a equação para esta circunferência:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}$
$latex {{x}^2}+{{y}^2}=34$
EXERCÍCIO 4
Determine se o ponto (5, 6) está na circunferência $latex {{x}^2} + {{y}^2} = 61$.
Solução
Usamos a equação dada com as coordenadas do ponto (5, 6). Assim, usamos os valores $latex x = 5$ e $latex y = 6$ e verificamos se a equação é verdadeira:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}=61$
$latex {{5}^2}+{{6}^2}=61$
$latex 25+36=61$
$latex 61=61$
A equação é verdadeira. Isso significa que o ponto (5, 6) está n circunferência fornecida.
EXERCÍCIO 5
Determine se o ponto (7, 8) está na circunferência $latex {{x}^2} + {{y}^2} = 94$.
Solução
Colocamos os valores $latex x = 7$ e $latex y = 8$ na equação da circunferência dada e verificamos se a equação é verdadeira:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}=94$
$latex {{7}^2}+{{8}^2}=94$
$latex 49+64=94$
$latex 113=94$
A equação não é verdadeira. Isso significa que o ponto (7, 8) não faz parte da circunferência fornecida.
Exercícios de equação da circunferência com centro na origem para resolver
Use o que você aprendeu sobre a equação de uma circunferência com o centro na origem para resolver os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
Você quer aprender mais sobre as equações da circunferência? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
