O volume do cilindro é a densidade do cilindro, o que significa a quantidade de material que pode caber no cilindro ou a quantidade de espaço ocupado pelo cilindro. Lembre-se de que o cilindro é uma figura tridimensional com bases circulares. Um cilindro pode ser visto como um par de discos circulares colocados um sobre o outro. Portanto, calculamos seu volume multiplicando a área das bases circulares pela altura do cilindro.
A seguir, conheceremos a fórmula que podemos usar para calcular o volume de um cilindro tanto em termos de raio e altura quanto em termos de diâmetro. Além disso, aprenderemos a calcular o volume dos cilindros ocos. Finalmente, usaremos as fórmulas aprendidas para resolver alguns exercícios.
Fórmula para o volume do cilindro
Um cilindro pode ser visto como um conjunto de discos congruentes localizados um em cima do outro. Para calcular o espaço ocupado pelo cilindro, calculamos o espaço ocupado por cada disco e depois os somamos.
Assim, o volume de um cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura:
Volume = Base × Altura
Sabemos que um cilindro tem bases circulares, então a área da base é igual a πr², onde r é o raio. Portanto, a fórmula para o volume de um cilindro é:
| $latex V=\pi {{r}^2}\times h$ |
onde, r é o comprimento do raio do cilindro e h é o comprimento de sua altura.
Volume de um cilindro usando diâmetro
Também é possível calcular o volume de um cilindro usando o comprimento de seu diâmetro. Podemos usar dois métodos para conseguir isso.
O primeiro método é lembrar que o diâmetro de um cilindro é igual a 2r, onde r é o comprimento do raio do cilindro. Portanto, se sabemos o diâmetro do cilindro, podemos simplesmente dividir o diâmetro por 2 para obter o comprimento do raio e aplicar a fórmula de volume acima.
Alternativamente, também é possível escrever a equivalência do raio e do diâmetro e obter uma fórmula para o volume em termos do diâmetro do cilindro:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(\frac{d}{2})}^2}\times h$
$latex V=\pi \frac{{{d}^2}}{4}\times h$
| $latex V= \frac{\pi{{d}^2}}{4}\times h$ |
onde, d é o comprimento do diâmetro.
Volume de um cilindro oco
No caso dos cilindros ocos, medimos dois raios, um para o círculo interno e outro para o círculo externo formado pela base do cilindro oco. O volume deste tipo de cilindro pode ser calculado com a seguinte fórmula:
| $latex V=\pi h({{r_{1}}^2}-{{r_{2}}^2})$ |
onde, $latex r_{1}$ é o raio do círculo externo, $latex r_{2}$ é o raio do círculo interno e h é a altura do cilindro.
Essa fórmula equivale a calcular o volume de um cilindro inteiro e, em seguida, extrair o volume do cilindro interno que foi removido.
Exercícios de volume do cilindro resolvidos
As fórmulas para o volume dos cilindros detalhadas acima são aplicadas para resolver os seguintes exercícios. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde são detalhados o processo e o raciocínio utilizado.
EXERCÍCIO 1
Qual é o volume de um cilindro com raio de 5 m e altura de 10 m?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Raio, $latex r=5$
- Altura, $latex h=10$
Usando a fórmula de volume com esses dados, temos:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(5)}^2}\times 10$
$latex V=\pi (25)\times 10$
$latex V=785,4$
O volume é igual a 785,4 m³.
EXERCÍCIO 2
Se um cilindro tem um raio de 6 m e uma altura de 8 m, qual é o seu volume?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Raio, $latex r=6$
- Altura, $latex h=8$
Ao substituir esses valores na fórmula do volume, temos:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(6)}^2}\times 8$
$latex V=\pi (36)\times 8$
$latex V=904,8$
O volume é igual a 904,8 m³.
EXERCÍCIO 3
Qual é o volume de um cubo com 8 m de diâmetro e 12 m de altura?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Diâmetro, $latex d=8$
- Altura, $latex h=12$
Neste caso, usamos a segunda fórmula do volume, pois temos o diâmetro do cilindro:
$latex V=\pi (\frac{{{d}^2}}{4})\times h$
$latex V=\pi (\frac{{{(8)}^2}}{4})\times 12$
$latex V=\pi (\frac{64}{4})\times 12$
$latex V=\pi (16)\times 12$
$latex V=603,2$
O volume é igual a 603,2 m³.
EXERCÍCIO 4
Qual é o volume de um cilindro com 12 m de diâmetro e 11 m de altura?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Diâmetro, $latex d=12$
- Altura, $latex h=11$
Usamos esses valores na segunda fórmula do volume:
$latex V=\pi (\frac{{{d}^2}}{4})\times h$
$latex V=\pi (\frac{{{(12)}^2}}{4})\times 11$
$latex V=\pi (\frac{144}{4})\times 11$
$latex V=\pi (36)\times 11$
$latex V=1244,1$
O volume é igual a 1244,1 m³.
EXERCÍCIO 5
Um cilindro oco tem uma altura de 15 m, um raio interno de 5 m e um raio externo de 6 m. Qual é o seu volume?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Altura, $latex h=15$
- Raio externo, $latex r_{1}=6$
- Raio interno, $latex r_{2}=5$
Temos um cilindro oco, então temos que usar a terceira fórmula do volume com os valores indicados:
$latex V=\pi h({{r_{1}}^2}-{{r_{2}}^2})$
$latex V=\pi (15)({{6}^2}-{{5}^2})$
$latex V=\pi (15)(36-25)$
$latex V=\pi (15)(11)$
$latex V=518,4$
O volume é igual a 518,4 m³.
EXERCÍCIO 6
Qual é o volume de um cilindro oco que tem uma altura de 20 m, um raio interno de 6 m e um raio externo de 8 m?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Altura, $latex h=20$
- Raio externo, $latex r_{1}=8$
- Raio interno, $latex r_{2}=6$
Usamos a terceira fórmula do volume com estes valores
$latex V=\pi h({{r_{1}}^2}-{{r_{2}}^2})$
$latex V=\pi (20)({{8}^2}-{{6}^2})$
$latex V=\pi (20)(64-36)$
$latex V=\pi (20)(28)$
$latex V=1759,3$
O volume é igual a 1759,3 m³.
Exercícios de volume do cilindro para resolver
Use as fórmulas para o volume dos cilindros para resolver os exercícios a seguir. Selecione uma resposta e verifique se você obteve a resposta correta. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
