O diâmetro de um cilindro é igual ao maior comprimento que pode ser localizado nas bases circulares e que passa pelo centro dos círculos. Junto com o raio, o diâmetro é freqüentemente usado para calcular o volume e a área de superfície de um cilindro. Da mesma forma, também é possível encontrar o comprimento do diâmetro se conhecermos o volume ou a área do cilindro.
A seguir, conheceremos os três diferentes métodos que podemos usar para calcular o comprimento do diâmetro de um cilindro. Além disso, veremos alguns exercícios nos quais aplicaremos essas fórmulas.
Diâmetro de um cilindro usando o raio
O raio, junto com a altura, são as dimensões mais comuns do cilindro. Portanto, muitas vezes saberemos o comprimento do raio do cilindro. Se conhecermos o raio, podemos calcular o diâmetro facilmente, basta multiplicar o raio por 2.
Portanto, se quisermos encontrar o comprimento do diâmetro usando o comprimento do raio, usamos a seguinte expressão:
$latex d = 2r$
EXERCÍCIO 1
Qual é o diâmetro de um cilindro com raio de 5 m?
Solução: Usamos a fórmula fornecida acima com o comprimento $latex r = 5$. Então, temos:
$latex d=2r$
$latex d=2(5)$
$latex d=10$
O diâmetro é de 10 m.
EXERCÍCIO 2
Se um cilindro tem raio de 23 m, qual é o seu diâmetro?
Solução: Temos o comprimento $latex r = 23$. Então, usando esse valor na fórmula, temos:
$latex d=2r$
$latex d=2(23)$
$latex d=46$
O diâmetro mede 46 m.
Diâmetro de um cilindro usando o volume
Podemos encontrar o valor do diâmetro a partir do volume. Lembre-se de que a fórmula para o volume de um cilindro é:
$latex V=\pi {{r}^2}h$
ou em termos de diâmetro é:
$latex V=\pi \frac{{{d}^2}}{4}h$
Então, podemos usar esta fórmula e resolver para o diâmetro se tivermos os valores para o volume e a altura.
EXERCÍCIO 1
Qual é o diâmetro de um cilindro com volume de 100 m³ e altura de 8 m?
Solução: Temos os valores $latex V = 100$ e $latex h = 8$. Então, usamos a fórmula do volume, inserimos os valores dados e resolvemos para d:
$latex V=\pi \frac{{{d}^2}}{4}h$
$latex 100=\pi \frac{{{d}^2}}{4}(8)$
$latex {{d}^2}=\frac{4(100)}{8\pi}$
$latex {{d}^2}=\frac{400}{8\pi}$
$latex {{d}^2}=15,92$
$latex d\approx 4$
O diâmetro é de 4 m.
EXERCÍCIO 2
Um cilindro tem volume de 240 m³ e altura de 12 m. Qual é o seu diâmetro?
Solução: Temos os valores $latex V = 240$ e $latex h = 12$. Portanto, podemos usar a fórmula do volume e resolver para d:
$latex V=\pi \frac{{{d}^2}}{4}h$
$latex 240=\pi \frac{{{d}^2}}{4}(12)$
$latex {{d}^2}=\frac{4(240)}{12\pi}$
$latex {{d}^2}=\frac{960}{12\pi}$
$latex {{d}^2}=25,46$
$latex d\approx 5,05$
O diâmetro mede 5,05 m.
Diâmetro de um cilindro usando a área de superfície
A área da superfície também pode ser usada para encontrar o diâmetro de um cilindro. Semelhante aos exercícios anteriores, precisamos saber o valor da área do cilindro e o comprimento da altura para determinar o diâmetro. Lembre-se de que a fórmula para a área do cilindro é:
$latex A_{s}=2\pi {{r}^2}+2\pi rh$
ou em termos de diâmetro, temos:
$latex A_{s}=\pi (\frac{{{d}^2}}{2})+\pi dh$
EXERCÍCIO 1
Qual é o diâmetro de um cilindro com área de superfície de 100 m² e altura de 4 m?
Solução: Temos os valores $latex A_{s}=100$ e $latex h=4$. Então, temos:
$latex A_{s}=\pi (\frac{{{d}^2}}{2})+\pi dh$
$latex 100=\pi (\frac{{{d}^2}}{2})+4\pi d$
$latex 100=1,57{{d}^2}+12,57 d$
$latex 1,57{{d}^2}+12,57 d-100=0$
Vemos que obtivemos uma equação quadrática. Podemos usar a fórmula quadrática para encontrar o resultado:
$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
$latex x=\frac{{-12,57\pm \sqrt{{{{12,57}^{2}}-4(1,57)(-100)}}}}{{2(1,57)}}$
$latex x=4,93,~~x=-12,93$
Uma equação quadrática geralmente tem duas soluções, por isso encontramos dois valores de x. No entanto, vemos que um valor é negativo e não faz sentido ter um diâmetro negativo, por isso consideramos apenas a resposta positiva. O diâmetro do cilindro mede 4,93 m.
EXERCÍCIO 2
Se um cilindro tem uma área de 240 m² e uma altura de 10 m, qual é o seu diâmetro?
Solução: Temos os valores $latex A_{s}=240$ e $latex h=10$. Então, temos:
$latex A_{s}=\pi (\frac{{{d}^2}}{2})+\pi dh$
$latex 240=\pi (\frac{{{d}^2}}{2})+10\pi d$
$latex 240=1,57{{d}^2}+31,42 d$
$latex 1,57{{d}^2}+31,42 d-240=0$
Resolvemos o quadrático usando a fórmula quadrática:
$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
$latex x=\frac{{-31,42\pm \sqrt{{{{31,42}^{2}}-4(1,57)(-240)}}}}{{2(1,57)}}$
$latex x=5,9,~~x=-25,9$
Consideramos apenas a solução positiva, pois não faz sentido ter um diâmetro negativo. O diâmetro do cilindro mede 5,9 m.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
