O teorema do ângulo inscrito é um dos mais importantes teoremas da geometria. Este teorema nos diz que quando temos um ângulo central e um ângulo inscrito com as mesmas extremidades, a medida do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito. Este teorema tem três variações diferentes, dependendo da localização dos ângulos.
A seguir, aprenderemos sobre esse teorema com mais detalhes e faremos alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o teorema do ângulo inscrito com exercícios.
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Aprender sobre o teorema do ângulo inscrito com exercícios.
O que são os ângulos inscritos?
Ângulos inscritos são ângulos com vértices que estão dentro de um círculo. Os dois lados de um ângulo inscrito são cordas do círculo.
Além disso, temos também os ângulos centrais, que estão localizados no centro do círculo e seus lados são formados por dois raios do círculo.
O ângulo formado pelas extremidades de duas cordas na circunferência de um círculo é chamado de arco interceptado.
Podemos olhar para esses três ângulos no diagrama a seguir:
Então temos:
- α = ângulo central
- β = ângulo inscrito
- θ = arco interceptado
O que é o teorema do ângulo inscrito?
O teorema dos ângulos inscritos, também conhecido como teorema do ângulo central, nos diz o seguinte:
Sempre que o ângulo central e o ângulo inscrito compartilham extremidades no círculo, o valor do ângulo central é o dobro do ângulo inscrito.
Assim, o teorema dos ângulos inscritos é representado pela seguinte fórmula:
α = 2β
onde α é o ângulo central e β é o ângulo inscrito.
Casos e Prova do Teorema do Ângulo Inscrito
Temos três casos diferentes dependendo da localização dos ângulos:
- Quando o diâmetro está entre os lados do ângulo inscrito.
- Quando o ângulo inscrito está entre uma corda e o diâmetro do círculo.
- Quando o diâmetro está fora dos lados do ângulo inscrito.
Podemos olhar para os três casos no diagrama a seguir:
Os três casos são equivalentes, pois todos os ângulos inscritos que delimitam em um mesmo arco são iguais conforme mostra a animação a seguir:
Provas detalhadas para cada um desses casos podem ser encontradas neste artigo.
Exemplos Resolvidos do Teorema do Ângulo Inscrito
EXEMPLO 1
Determine a medida do ângulo x no diagrama abaixo:
Solução: Pelo teorema dos ângulos inscritos, sabemos que o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito. Então temos:
ângulo central = 2× ângulo inscrito
ângulo central= 2×50°
ângulo central = 100°
EXEMPLO 2
O ângulo verde tem seu vértice no centro do círculo. Qual é o valor de x?
Solução: O ângulo verde com medida x+50 é o ângulo central para o ângulo inscrito x, pois ambos interceptam o mesmo arco. Portanto, a medida do ângulo verde é duas vezes a medida do ângulo vermelho. Então temos:
2x=x+50°
x=50°
EXEMPLO 3
Encontre o valor de x no diagrama a seguir:
Solução: Temos que o ângulo central mede 48°. Pelo teorema do ângulo inscrito, temos:
2x=48°
Dividimos ambos os lados por 2 para obter:
x=24°
EXEMPLO 4
Qual é o valor de x+y?
Solução: Sabemos que o triângulo que contém o ângulo vermelho e o ângulo verde é um triângulo isósceles, pois dois dos lados são os raios do círculo.
Além disso, sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180°. Assim, podemos encontrar a medida do ângulo vermelho da seguinte forma:
110°+x+x=180°
2x=180°-110°
2x=70°
x=35°
Agora, sabemos que o ângulo y é o ângulo central, então deve ser o dobro do ângulo inscrito, e temos:
y=2x
y=2(35°)
y=70°
Teorema do Ângulo Inscrito – Exercícios para resolver
Use o Teorema dos Ângulos Inscritos para resolver os seguintes problemas práticos.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
