O teorema de Tales nos diz que um triângulo inscrito em um círculo, onde a hipotenusa corresponde ao diâmetro do círculo, é sempre um triângulo retângulo. Este teorema pode ser provado usando a soma dos ângulos internos.
A seguir, veremos um resumo do teorema de Tales. Em seguida, aprenderemos a aplicar este teorema para resolver alguns exercícios práticos.
Resumo do teorema de Tales
O teorema de Tales é considerado um caso especial do teorema dos ângulos inscritos. Este teorema nos diz que se temos um triângulo inscrito em um círculo como mostrado no diagrama a seguir, o ângulo formado no vértice B é sempre um ângulo reto.
Então, se três pontos A, B e C estão na circunferência de um círculo, onde a linha AC é o diâmetro do círculo, então o ângulo ∠ABC é um ângulo reto (90°).
Este teorema pode ser provado desenhando uma bissetriz do centro ao vértice B e depois usando os ângulos dos triângulos isósceles formados e o fato de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Você pode assistir a demonstração completa neste artigo.
Exercícios resolvidos do teorema de Tales
EXERCÍCIO 1
O segmento AC é o diâmetro do círculo. Qual é a medida do ângulo Z?
Solução
O segmento AC é o diâmetro do círculo, então podemos usar o teorema de Tales. Portanto, sabemos que o ângulo no vértice B é um ângulo de 90°. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, temos:
90°+50°+Z=180°
140°+Z=180°
Z=180°-140°
Z=40°
A medida do ângulo Z é 40°.
EXERCÍCIO 2
Determine a medida do ângulo Z no diagrama abaixo como o segmento AC para o diâmetro do círculo.
Solução
O segmento AC é o diâmetro do círculo, então podemos usar o teorema de Tales. Portanto, sabemos que o ângulo no vértice B é um ângulo de 90°. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, temos:
90°+60°+Z=180°
150°+Z=180°
Z=180°-150°
Z=30°
A medida do ângulo Z é 30°.
EXERCÍCIO 3
Se M é o centro do círculo, determine a medida do ângulo Z.
Solução
Como o ponto M é o centro do círculo, sabemos que o segmento XZ é o diâmetro do círculo. Então podemos usar o teorema de Tales.
Pelo teorema, sabemos que o ângulo do vértice Y é um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°. Podemos usar a soma dos ângulos internos de um triângulo para obter a medida de Z:
90°+50°+Z=180°
140°+Z=180°
Z=180°-140°
Z=40°
A medida do ângulo Z é 40°.
EXERCÍCIO 4
Se O representa o centro do círculo, qual é a medida do ângulo a?
Solução
Se o ponto O é o centro do círculo, sabemos que o segmento XZ representa o diâmetro do círculo. Portanto, podemos aplicar o teorema de Tales. Usando o teorema, sabemos que o ângulo Y é um ângulo reto, ou seja, 90°.
Agora, usamos a soma dos ângulos internos de um triângulo para encontrar a medida do ângulo a:
90°+40°+a=180°
130°+a=180°
a=180°-130°
a=50°
A medida do ângulo a é 50°.
EXERCÍCIO 5
O segmento AC é um diâmetro do círculo. Qual é a medida do diâmetro?
Solução
Usando o teorema de Tales, podemos determinar que o triângulo ABC é um triângulo retângulo. Isso significa que o ângulo B é um ângulo reto. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do diâmetro:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{12}^2}+{{13}^2}$
$latex {{c}^2}=144+169$
$latex {{c}^2}=313$
$latex c=17,7$
O comprimento do segmento AC é de 17,7 unidades.
EXERCÍCIO 6
Se o segmento XY é o diâmetro do círculo, qual é o seu comprimento?
Solução
Aplicando o teorema de Tales, descobrimos que o triângulo XYZ é um triângulo retângulo. Ou seja, o ângulo Z é um ângulo reto.
Então, encontramos o comprimento de XY aplicando o teorema de Pitágoras, onde XY é a hipotenusa de um triângulo retângulo:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{6}^2}+{{9}^2}$
$latex {{c}^2}=36+81$
$latex {{c}^2}=117$
$latex c=10,82$
O comprimento do segmento XY é 10,82 unidades.
EXERCÍCIO 7
Determine o comprimento do segmento AB no diagrama abaixo.
Solução
O segmento AC é o diâmetro do círculo. Assim, aplicando o teorema de Tales, podemos determinar que o triângulo ABC é um triângulo retângulo.
Portanto, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento AB:
$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$
$latex {{a}^2}+{{8}^2}={{10}^2}$
$latex {{a}^2}+64=100$
$latex {{a}^2}=100-64$
$latex {{a}^2}=36$
$latex a=6$
O comprimento do segmento AB é 6 unidades.
EXERCÍCIO 8
Qual é o comprimento de AC se AB é o diâmetro do círculo?
Solução
Como AB é o diâmetro do círculo, sabemos que o teorema de Tales se aplica. Isso significa que o triângulo é um triângulo retângulo e podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento AC:
$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$
$latex {{a}^2}+{{8}^2}={{9}^2}$
$latex {{a}^2}+64=81$
$latex {{a}^2}=81-64$
$latex {{a}^2}=17$
$latex a=4,12$
O comprimento do segmento AC é de 4,12 unidades.
EXERCÍCIO 9
Se C é o centro do círculo, qual é a medida do ângulo ∠ABC?
Solução
Como o ponto C é o centro do círculo, sabemos que o segmento AD é o diâmetro. Então podemos aplicar o teorema de Tales.
Dois dos lados dos triângulos ABC e BCD são iguais, pois correspondem aos raios do círculo. Portanto, dois ângulos também são iguais e os triângulos devem ser triângulos isósceles. Então temos:
∠CBD = ∠CDB =60°
Aplicando o teorema de Tales, temos:
∠ABD =90°
Então temos:
∠ABC = 90°-60°=30°
Portanto, a medida do ângulo ∠ABC é 30°.
Exercícios de teorema de Tales para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
