O teorema de Tales nos diz que o diâmetro de um círculo sempre forma um triângulo retângulo quando o conectamos a qualquer ponto da circunferência do círculo. Este teorema pode ser provado usando dois triângulos isósceles inscritos em um círculo e usando seus ângulos.
A seguir, veremos uma explicação mais detalhada do teorema de Tales. Além disso, aprenderemos como provar esse teorema e usá-lo para resolver alguns exemplos práticos.
Teorema de Tales explicado
O teorema de Tales é considerado um caso especial do teorema dos ângulos inscritos. O teorema de Tales é aplicado a triângulos retângulos inscritos em um círculo.
Usaremos o diagrama a seguir para descrever o teorema de Tales.
O teorema de Thales indica que, se os pontos A, B, C são pontos diferentes localizados na circunferência de um círculo de centro O, onde a linha AC é um diâmetro do círculo, o triângulo ΔABC tem um ângulo reto (de 90°) no ponto B.
Portanto, o triângulo ΔABC é um triângulo retângulo. Isso significa que o diâmetro de um círculo sempre forma um ângulo reto com qualquer ponto do círculo.
Prova do teorema de Tales
Podemos provar o teorema de Tales de várias maneiras diferentes usando técnicas algébricas e geométricas. No entanto, aqui vamos nos concentrar em um método geométrico usando bissetrizes e a soma de ângulos internos.
Quando conectamos o centro do círculo O ao ponto B, criamos dois triângulos ΔABO e ΔOBC. Ambos os triângulos são isósceles, pois os segmentos OA, OC, OB são iguais porque são raios do círculo.
Sabemos que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. Assim, os ângulos α do triângulo ΔABO são iguais. Da mesma forma, os ângulos β do triângulo ΔOBC são iguais.
Sabemos também que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°. Assim, no triângulo ΔABC, temos:
$latex \alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180$°
$latex 2\alpha+2\beta=180$°
Dividindo a expressão por 2, temos:
$latex \alpha+\beta=90$°
O ângulo α+β é o ângulo do triângulo ΔABC no ponto B. Assim, provamos o teorema.
Exemplos resolvidos do teorema de Tales
EXEMPLO 1
O segmento AB corresponde ao diâmetro do círculo. Determine a medida do ângulo X.
Solução: Como o segmento AB é o diâmetro, pelo teorema de Tales, sabemos que o ângulo formado no vértice C é um ângulo de 90°. Além disso, sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Então temos:
90°+60°+X=180°
150°+X=180°
X=180°-150°
X=30°
A medida do ângulo X é 30°.
EXEMPLO 2
O ponto M é o centro do círculo. Qual é a medida do ângulo Z?
Solução: Se o ponto M for o centro, significa que o segmento XZ é o diâmetro do círculo, então podemos aplicar o teorema de Tales. Então sabemos que o ângulo formado no vértice Y é um ângulo de 90°. Podemos usar a soma dos ângulos internos de um triângulo para obter a medida de Z:
90°+50°+Z=180°
140°+Z=180°
Z=180°-140°
Z=40°
A medida do ângulo Z é 40°.
EXEMPLO 3
O segmento XY é um diâmetro do círculo. Determine o comprimento do diâmetro.
Solução: Pelo teorema de Tales, sabemos que o triângulo XYZ é um triângulo retângulo, onde o ângulo Z é um ângulo reto. Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento do segmento XY:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{5}^2}+{{6}^2}$
$latex {{c}^2}=25+36$
$latex {{c}^2}=61$
$latex c=7,81$
O comprimento do segmento XY é de 7,81 unidades.
EXEMPLO 4
Determine a medida do ângulo ∠ABC assumindo que o ponto C é o centro do círculo.
Solução: O ponto C é o centro do círculo, então o segmento AD é o diâmetro e podemos aplicar o teorema de Thales.
Anteriormente vimos que os triângulos ABC e BCD devem ser triângulos isósceles. Então temos:
∠CBD = ∠CDB =60°
Pelo teorema de Tales, sabemos que:
∠ABD =90°
Então temos:
∠ABC = 90°-60°=30°
Então a medida do ângulo ∠ABC é 30°.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
