Para encontrar o raio e as coordenadas do centro de um círculo quando temos a sua equação escrita na forma geral, temos de escrever a equação na sua forma padrão. Isto é feito completando os quadrados de x e y. Assim, quando temos a forma padrão, podemos identificar facilmente o centro e o raio.
A seguir, aprenderemos a encontrar o raio e o centro de um círculo quando tivermos a sua equação dada na forma geral. Depois, veremos alguns problemas práticos para aplicar o que aprendemos.
Passos para encontrar o raio e centro de um círculo
Para encontrar o raio e centro de um círculo, vamos começar por encontrar a equação padrão de um círculo.
Suponha que temos um círculo com centro $latex C=(a,~b)$ e raio $latex r$. Além disso, o ponto $latex P=(x,~y)$ está na circunferência do círculo.
Se utilizarmos a fórmula para a distância entre dois pontos, temos:
$$ r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$
Elevando ao quadrado, temos:
$$ r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$$
Esta é a forma padrão da equação do círculo. Nesta forma, $latex r$ é o raio e $latex (a, ~b)$ é o centro do círculo.
Quando expandimos e simplificamos esta equação, temos a equação geral do círculo:
$$ x^2+y^2-2ax-2by+c=0$$
onde, $latex c=a^2+b^2-r^2$.
Então, se tivermos a equação de um círculo dada em sua forma geral, podemos encontrar seu centro e raio da seguinte maneira:
1. Escrever a equação do círculo na forma padrão, $latex r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$.
Podemos conseguir isto completando o quadrado de x e y.
2. Pegue a raiz quadrada de $latex r^2$ para obter o raio do círculo.
3. O centro do círculo é $latex (a, ~b)$.
A forma padrão $latex r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ dá o centro do círculo.
Exercícios resolvidos do raio e do centro de um círculo usando sua equação
EXERCÍCIO 1
Encontrar o raio e as coordenadas do centro de um círculo com a equação $latex (x-5)^2+(y+3)^2=16$.
Solução
Neste exemplo, temos a equação do círculo dada na sua forma padrão. Depois, podemos obter as coordenadas do centro e do raio, comparando com a equação:
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Então, vemos que $latex a=5$ e $latex b=-3$, então o centro é $latex (5,~-3)$.
Para encontrar o raio, temos de tomar a raiz quadrada de 16, que é igual a 4. O raio é $latex r=4$.
EXERCÍCIO 2
Qual é o centro e raio de um círculo com a equação $latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$?
Solução
Este exemplo é semelhante ao anterior, com a diferença de que primeiro temos de simplificar a equação dada. Então, temos:
$latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$
$latex (x+7)^2+(y-4)^2=4$
Agora, comparamos com a forma padrão:
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Depois, temos $latex a=-7$ e $latex b=4$. Portanto, o centro é $latex (5,~-3)$.
O raio é igual a $latex r=2$.
EXERCÍCIO 3
Encontrar o raio e centro de um círculo com a equação $latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$.
Solução
Neste caso, temos a equação do círculo na sua forma geral. Por isso, temos de começar por converter a equação na forma padrão.
Para isso, completamos o quadrado tanto de x como de y e temos:
$latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$
$latex x^2+2x+y^2-4y-4=0$
$$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-4=0$$
$latex (x+1)^2+(y-2)^2=9$
Agora que temos a equação do círculo na sua forma padrão, podemos facilmente ver que o centro é $latex (-1, ~2)$ e o seu raio é $latex r=3$.
EXERCÍCIO 4
Quais são as coordenadas do centro e do raio do círculo com a equação $latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$?
Solução
Para encontrar o raio e as coordenadas do centro, temos de encontrar a forma padrão da equação do círculo. Em seguida, completamos o quadrado de ambas as variáveis:
$latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$
$latex x^2-4x+y^2-2y+1=0$
$$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1+1=0$$
$latex (x-2)^2+(y-1)^2=4$
O centro do círculo é $latex (2, ~1)$ e o seu raio é $latex r=2$.
EXERCÍCIO 5
Encontre o raio e o centro de um círculo que tem a equação $latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$.
Solução
Vamos completar o quadrado de ambas as variáveis para encontrar a forma padrão da equação do círculo dado:
$latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$
$latex x^2-2x+y^2-8y+8=0$
$$(x-1)^2-1+(y-4)^2-16+8=0$$
$latex (x-1)^2+(y-4)^2=9$
As coordenadas do centro do círculo são $latex (1, ~4)$ e o seu raio é $latex r=3$.
EXERCÍCIO 6
Qual é o raio e centro de um círculo representado pela equação $latex 9x^2+9y^2-12x+18y+4=0$?
Solução
Para simplificar a solução deste problema, podemos dividir a equação inteira por 9:
$$ x^2+y^2-\frac{4}{3}x+2y+\frac{4}{9}=0$$
Rearranjando a equação e completando o quadrado de x e y, temos:
$$ x^2-\frac{4}{3}x+y^2+2y+\frac{4}{9}=0$$
$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}+(y+1)^2-1+\frac{4}{9}=0$$
$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2=1$$
As coordenadas do centro do círculo são $latex (\frac{2}{3},~-1)$ e o raio é 1.
Raio e centro de um círculo – Exercícios para resolver
Quais são as coordenadas do centro da circunferência a seguir? $$x^2+16x+y^2-10y+89=10$$
Escreva as coordenadas na caixa.
Ver também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
