Para encontrar os pontos de intersecção de dois círculos, começamos por encontrar a equação da corda comum. Isto é conseguido através da subtração das equações dos círculos para obter uma equação linear. Depois, substituímos esta equação por uma das equações dos círculos e resolvemos.
A seguir, vamos aprender o processo que podemos utilizar para encontrar os pontos de intersecção de dois círculos. Depois, resolveremos alguns exemplos práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar os pontos de intersecção de dois círculos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar os pontos de intersecção de dois círculos.
Como encontrar os pontos de intersecção de dois círculos
Dois círculos podem intersectar-se em dois pontos diferentes, como se mostra no diagrama abaixo:
As coordenadas dos pontos de intersecção, P e Q, satisfazem as equações de ambos os círculos. Além disso, as coordenadas de P e Q também satisfazem a equação da corda comum.
Considerando isto, podemos encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção de dois círculos, seguindo os passos abaixo:
1. Encontrar a equação da corda comum.
Esta equação é uma equação linear encontrada pela subtração das equações dos círculos de modo a eliminarmos os termos quadráticos.
2. Resolver a equação do passo 1 para uma das variáveis.
3. Substituir a equação do passo 2 em uma das equações dos círculos.
Ao resolver isto, encontraremos as coordenadas x ou y dos pontos.
4. Utilizar as coordenadas do passo 3 em qualquer uma das equações dos círculos para encontrar as coordenadas em falta.
Exercícios resolvidos de intersecção de dois círculos
EXERCÍCIO 1
Quais são as coordenadas dos pontos de intersecção dos círculos com as equações $latex x^2+y^2-3x+5y-4=0$ e $latex x^2+y^2-x+4y-7=0$?
Solução
Passo 1: Ao subtrair as equações dos círculos, podemos encontrar a equação da corda comum:
$latex x^2+y^2-3x+5y-4=0$
$latex x^2+y^2-x+4y-7=0~(-$
______________________
$latex -2x+y+3=0$
Passo 2: Resolvendo a equação para y, temos:
$latex y=2x-3$
Passo 3: Substituindo a equação do passo 2 na equação do segundo círculo, temos:
$latex x^2+y^2-x+4y-7=0$
$$x^2+(2x-3)^2-x+4(2x-3)-7=0$$
$latex 5x^2-5x-10=0$
$latex 5(x-2)(x+1)=0$
Resolvendo, temos $latex x=2$ e $latex x=-1$.
Passo 4: Quando $latex x=2$, temos $latex y=1$ e quando $latex x=-1$, temos $latex y=-5$.
Portanto, os pontos de intersecção dos círculos são $latex (-1,~-5)$ e $latex (2,1)$.
EXERCÍCIO 2
Determinar as coordenadas dos pontos de intersecção dos círculos com as equações $latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$ e $latex x^2+y^2-4x+6y-12=0$.
Solução
Passo 1: Ao subtrair as equações dos círculos, temos:
$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$
$latex x^2+y^2-4x+6y-12=0~(-$
______________________
$latex -x-3y+8=0$
Passo 2: Resolvendo a equação para x, temos:
$latex x=-3y+8$
Passo 3: Substituindo a equação do passo 2 na equação do primeiro círculo, temos:
$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$
$$(-3y+8)^2+y^2-5(-3y+8)+3y-4=0$$
$latex 10y^2-30y+20=0$
$latex 10(y-2)(y-1)=0$
Resolvendo, temos $latex y=2$ e $latex y=1$.
Passo 4: Quando $latex y=2$, temos $latex x=2$ e quando $latex y=1$, temos $latex x=5$.
Portanto, os pontos de intersecção dos círculos são $latex (2, ~2)$ e $latex (5,~ 1)$.
EXERCÍCIO 3
Quais são os pontos de intersecção dos círculos $latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$ e $latex x^2+y^2-6x+5y+9=0$?
Solução
Passo 1: Vamos encontrar a equação da corda comum, subtraindo as equações dos círculos:
$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$
$latex x^2+y^2-6x+5y+9=0~(-$
______________________
$latex 2x-2y-4=0$
Passo 2: Podemos simplificar a equação obtida dividindo por 2, e resolvendo para x, temos:
$latex x-y-2=0$
$latex x=y-2$
Passo 3: Vamos substituir a equação do passo 2 na equação do primeiro círculo. Então, temos:
$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$
$$(y-2)^2+y^2+4(y-2)+3y+5=0$$
$latex 2y^2+3y+1=0$
$latex (2y+1)(y+1)=0$
Resolvendo, temos $latex y=-\frac{1}{2}$ e $latex y=-1$.
Passo 4: Quando $latex y=-\frac{1}{2}$, temos $latex x=1~\frac{1}{2}$ e quando $latex y=-1$, temos $latex x=1$.
Portanto, os pontos de intersecção dos círculos são $latex (1 ~\frac{1}{2},~-\frac{1}{2})$ e $latex (1, -1)$.
EXERCÍCIO 4
Encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção dos círculos $latex x^2+y^2+3x-2y-7=0$ e $latex x^2+y^2+x-y-8=0$.
Solução
Passo 1: Subtraindo as equações dos círculos, temos:
$latex x^2+y^2+3x-2y-7=0$
$latex x^2+y^2+x-y-8=0~(-$
______________________
$latex 2x-y+1=0$
Passo 2: Resolvendo a equação para y, temos:
$latex y=2x+1$
Passo 3: Usando a equação do passo 2 na equação do segundo círculo, temos:
$latex x^2+y^2+x-y-8=0$
$$x^2+(2x+1)^2+x-(2x+1)-8=0$$
$latex 5x^2+3x-8=0$
$latex (5x+8)(x-1)=0$
Resolvendo, temos $latex x=-\frac{8}{3}$ e $latex x=1$.
Passo 4: Quando $latex x=-\frac{8}{3}$, temos $latex y=-\frac{11}{5}$ e quando $latex x=1$, temos $latex y=3$.
Então os pontos de interseção dos círculos são $latex (-\frac{8}{3},~\frac{11}{5})$ e $latex (1, 3)$.
EXERCÍCIO 5
Encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção dos círculos com as equações $latex x^2+y^2-3x+13y-48=0$ e $latex x^2+y^2+x-3y=0$.
Solução
Passo 1: Encontramos a equação da corda comum, subtraindo as equações dos círculos:
$latex x^2+y^2-3x+13y-48=0$
$latex x^2+y^2+x-3y=0~~(-$
______________________
$latex -4x+16y-48=0$
Passo 2: Podemos simplificar a equação obtida dividindo por 4, e resolvendo para x, temos:
$latex -x+4y-12=0$
$latex x=4y-12$
Passo 3: Substituindo a equação do passo 2 na equação do segundo círculo, temos:
$latex x^2+y^2+x-3y=0$
$$(4y-12)^2+y^2+(4y-12)-3y=0$$
$latex 17y^2-95y+132=0$
$latex (17y-44)(y-3)=0$
Resolvendo, temos $latex y=\frac{44}{17}$ e $latex y=3$.
Passo 4: Quando $latex y=\frac{44}{17}$, temos $latex x=-\frac{28}{17}$ e quando $latex y=3$, temos $latex x=0$.
Então os pontos de interseção dos círculos são $latex (-\frac{28}{17},~\frac{44}{17})$ e $latex (0, 3)$.
Intersecção de dois círculos – Exercícios para resolver
Os círculos $latex x^2-10x+y^2-8y+36=0$ e $latex x^2-2x+y^2-12y+32=0$ possuem apenas um ponto de intersecção.
Escreva as coordenadas do ponto na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
