Como encontrar o circuncentro de um triângulo? – Passo a passo

O que é o circuncentro de um triângulo?

O circuncentro é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. No diagrama abaixo, podemos ver que o ponto O é o circuncentro:

Lembre-se que as mediatrizes são os segmentos perpendiculares que passam pelos pontos médios de cada lado do triângulo.

Alternativamente, podemos definir o circuncentro como o centro do círculo circunscrito, que passa por todos os três vértices do triângulo.

Circuncentro de triângulos comuns

A localização do circuncentro varia dependendo do tipo de triângulo que temos.

Circuncentro de triângulos agudos

O circuncentro de todos os triângulos agudos sempre está dentro do triângulo.

Circuncentro de triângulos obtusos

O circuncentro de todos os triângulos obtusos sempre fica fora do triângulo.

Circuncentro dos triângulos retângulos

O circuncentro de todos os triângulos retângulos está localizado na hipotenusa do triângulo retângulo. Além disso, a hipotenusa do triângulo retângulo corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito.

Circuncentro de triângulos equiláteros

O circuncentro, ortocentro, incentro e baricentro de todos os triângulos equiláteros estão localizados na mesma posição.

Encontrar o circuncentro de um triângulo graficamente

Para encontrar graficamente o circuncentro de um triângulo, temos que desenhar as mediatrizes e encontrar o ponto de interseção.

Podemos usar um compasso para determinar duas mediatrizes perpendiculares seguindo estes passos:

Passo 1: Desenhamos um arco no lado AB usando o vértice B como centro e um raio com comprimento ligeiramente maior que a metade de AB. Por exemplo, se AB for 4 unidades, podemos usar um raio de 2,5.

Passo 2: Usamos o vértice C como centro com o mesmo raio do passo 1 e desenhamos um arco no lado AB.

Passo 3: Desenhamos uma linha que passa pelos pontos D e E. Esta é uma mediatriz.

Passo 4: Seguimos um processo semelhante para desenhar arcos de interseção de C e A para formar os pontos F e G e desenhar uma linha através desses pontos.

Passo 5: Marcamos o ponto de interseção das linhas desenhadas.

As linhas traçadas são as mediatrizes, pois são perpendiculares aos seus lados correspondentes e passam pelo ponto médio dos lados. Portanto, o ponto de interseção é o circuncentro do triângulo.

Encontrar o circuncentro de um triângulo algebricamente

Podemos encontrar o circuncentro de um triângulo usando quatro métodos principais. Vamos usar o seguinte triângulo que tem os vértices $latex A=(x_{1},~y_{1})$, $latex B=(x_{2},~y_{2})$ e $latex C= (x_{3},~y_{3})$. O circuncentro está localizado em (x, y).

Método 1: Usando a Fórmula da Distância

Passo 1: Usando a fórmula da distância, $latex d=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}$, podemos encontrar $latex d_{1}, ~ d_{2}$ e $latex d_{3}$, que são as distâncias do circuncentro aos vértices A, B e C respectivamente:

$latex d_{1}=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}$

$latex d_{2}=\sqrt{(x-x_{2})^2+(y-y_{2})^2}$

$latex d_{3}=\sqrt{(x-x_{3})^2+(y-y_{3})^2}$

Passo 2: Obteremos três equações em função das coordenadas do circuncentro (x, y). Usamos duas dessas equações e qualquer método de resolução de sistemas de equações para obter uma solução (x, y). A solução do sistema são as coordenadas do circuncentro.

Método 2: usando a fórmula do ponto médio

Passo 1: Usando a fórmula do ponto médio, $latex M(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2 }} {2}\right)$, calculamos os pontos médios dos três lados do triângulo AB, BC, AC.

Passo 2: Calculamos os declives dos lados do triângulo AB, BC e AC usando a fórmula do declive:

$latex m_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$

$latex m_{2}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}$

$latex m_{3}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}$

onde $latex m_{1}$ é o declive de AB, $latex m_{2}$ é o declive de BC e $latex m_{3}$ é o declive de AC.

Passo 3: Usamos as coordenadas do ponto médio e o declive de cada lado do triângulo para obter uma equação para sua mediatriz (reta perpendicular).

$latex (y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1})$

Passo 4: Usamos as equações de duas mediatrizes do triângulo para formar um sistema de equações. A solução do sistema de equações são as coordenadas do circuncentro.

Método 3: Usando a lei estendida dos senos

Passo 1: Usando a lei estendida dos senos, podemos obter o comprimento do raio do círculo circunscrito. A lei estendida dos senos é escrita da seguinte forma:

$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}=2R$

onde, a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito.

Passo 2: Podemos usar a fórmula da distância com as coordenadas dos vértices para obter duas equações em termos das coordenadas do circuncentro.

Passo 3: Resolvemos com qualquer método de sistemas de equações e obteremos as coordenadas do circuncentro.

Método 4: Usando a fórmula do circuncentro

Se soubermos as coordenadas de todos os três vértices e as medidas de todos os três ângulos, podemos usar a fórmula do circuncentro para encontrar rapidamente as coordenadas do circuncentro:

$$O(x, y)=\left(\frac{x_{1}\sin(2A)+x_{2}\sin(2B)+x_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}, ~ \frac{y_{1}\sin(2A)+y_{2}\sin(2B)+y_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\right)$$

onde, $latex A(x_{1}, y_{1})$, $latex B(x_{2}, y_{2})$, $latex C(x_{3}, y_{3})$ são os vértices do triângulo e A, B, C são os ângulos correspondentes.

Exemplos resolvidos do circuncentro de um triângulo

Nos exemplos a seguir, aplicamos o que aprendemos sobre o circuncentro de um triângulo.

Exercícios para resolver do circuncentro de um triângulo

Resolva os exercícios a seguir usando o método apropriado para obter informações sobre o circuncentro de um triângulo.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre o baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro de um triângulo? Veja estas páginas:

• Como encontrar o ortocentro de um triângulo? – Passo a passo
• Como encontrar o incentro de um triângulo? – Passo a passo
• Como encontrar o baricentro de um triângulo? – Passo a passo