O baricentro de um triângulo pode ser encontrado usando um método algébrico ou usando um método gráfico. Para encontrar o baricentro algebricamente, temos que usar uma fórmula e as coordenadas dos vértices do triângulo. Para encontrar o baricentro graficamente, temos que desenhar duas medianas do triângulo.
Neste artigo, aprenderemos como encontrar o baricentro de um triângulo usando os dois métodos listados. Em seguida, vamos resolver alguns exercícios práticos.
O que é o baricentro de um triângulo?
O baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo. No diagrama abaixo, podemos ver que o ponto vermelho é o baricentro:
Lembre-se que as medianas do triângulo são os segmentos que conectam um vértice com o ponto médio de seu lado oposto. Isso significa que o baricentro é o centro geométrico do triângulo.
Propriedades do baricentro de um triângulo
A seguir estão algumas das propriedades e características importantes do baricentro de um triângulo:
- O baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das medianas do triângulo.
- O baricentro representa o centro geométrico do triângulo.
- O baricentro de um triângulo está sempre localizado dentro do triângulo.
- O baricentro de um triângulo equilátero está localizado na mesma posição que seu incentro, ortocentro e circuncentro.
- O baricentro divide as medianas em uma proporção de 2:1.
Encontrar o baricentro de um triângulo graficamente
O baricentro de um triângulo pode ser encontrado graficamente traçando as medianas do triângulo e determinando seu ponto de interseção.
Por sua vez, podemos encontrar as medianas encontrando o ponto médio de cada lado e desenhando um segmento de linha desse ponto até o vértice oposto. Fazemos isso com os seguintes passos:
Passo 1: Medimos o comprimento do lado AB e marcamos seu ponto médio para obter o ponto D.
Passo 2: Desenhamos um segmento do vértice C ao ponto D.
Passo 3: Medimos o comprimento do lado AC e marcamos seu ponto médio para obter o ponto E.
Passo 4: Traçamos um segmento de reta do vértice B ao ponto E.
Passo 5: Indicamos o ponto de intersecção dos segmentos AB e AC.
Os segmentos AB e AC são as medianas do triângulo. Isso significa que o ponto de interseção é o baricentro do triângulo.
Encontrar o baricentro de um triângulo algebricamente
O baricentro de um triângulo pode ser encontrado algebricamente se conhecermos as coordenadas dos vértices do triângulo. Podemos seguir o processo usando o triângulo a seguir.
Neste triângulo, ($latex x_{1},~y_{1}$), ($latex x_{2},~y_{2}$), ($latex x_{3},~y_{3}$ ) são os vértices e o ponto C(x, y) é o baricentro do triângulo.
Assim, usamos a seguinte fórmula:
$latex C(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
Basicamente, precisamos adicionar as coordenadas x dos vértices e dividir a soma por 3 para obter a coordenada x do baricentro. Da mesma forma, adicionamos as coordenadas y dos vértices e dividimos a soma por 3 para obter a coordenada y do baricentro.
Exemplos resolvidos do baricentro de um triângulo
Nos exemplos a seguir, aplicamos o método algébrico para encontrar o baricentro dos triângulos.
EXEMPLO 1
Quais são as coordenadas do baricentro de um triângulo que tem os vértices A(3, 6), B(1, 1) e C(5, 2)?
Solução: Temos que usar a fórmula do baricentro com as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1},~y_{1})=(3, ~6)$
- $latex (x_{2},~y_{2})=(1,~1)$
- $latex (x_{3},~y_{3})=(5,~2)$
Então temos:
$latex C(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{3+1+5}{3},~\frac{6+1+2}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{9}{3},~\frac{9}{3}\right)$
$latex C(x, y)=(3,~3)$
EXEMPLO 2
Quais são as coordenadas do baricentro de um triângulo que tem os vértices A(5, 7), B(2, 3) e C(6, 4)?
Solução: Temos as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1},~y_{1})=(5, ~7)$
- $latex (x_{2},~y_{2})=(2,~3)$
- $latex (x_{3},~y_{3})=(6,~4)$
Então, usando a fórmula do baricentro, temos:
$latex C(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{5+2+6}{3},~\frac{7+3+4}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{13}{3},~\frac{14}{3}\right)$
Exercícios para resolver do baricentro de um triângulo
Resolva os exercícios a seguir usando o método algébrico para encontrar as coordenadas do baricentro.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
