A área de polígonos regulares é usada para medir a região coberta pelo polígono no espaço bidimensional. Como é uma região bidimensional, usamos unidades quadradas para medir a área. A área de um polígono regular pode ser calculada usando o comprimento de seu apótema e o comprimento de um de seus lados. No entanto, também é possível calcular a área de polígonos regulares simplesmente usando o comprimento de um de seus lados.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para calcular a área desses polígonos. Em seguida, aplicaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios.
Calcular a área de polígonos regulares usando o apótema e os lados
A área de qualquer polígono regular pode ser calculada usando o comprimento de seu apótema e o comprimento de um de seus lados. A fórmula da área nesses casos é:
$latex A=\frac{1}{2}nal$
onde, a é o comprimento do apótema e l é o comprimento de um dos lados e n é o número de lados do polígono.
Esta fórmula é derivada do fato de que podemos dividir qualquer polígono regular em triângulos congruentes. Por exemplo, considere o seguinte hexágono regular:
Podemos dividir este hexágono em seis triângulos congruentes. Sabemos que a área de um triângulo é igual a metade de sua base multiplicada por sua altura. Neste caso, a altura do triângulo é o apótema e a base é igual a um dos lados do hexágono. Então a área de cada triângulo é:
$latex A_{t}=\frac{1}{2}al$
Agora, vemos que temos seis desses triângulos (que é igual ao número de lados do hexágono). Então a área do hexágono é:
$latex A=\frac{1}{2}(6)al$
$latex A=3al$
Calcular a área de polígonos regulares usando apenas os lados
A área de polígonos regulares também pode ser calculada usando apenas o comprimento de um de seus lados. Para conseguir isso, podemos usar a fórmula de área que vimos anteriormente. No entanto, precisamos encontrar uma expressão para o apótema em termos de seus lados.
Uma expressão pode ser encontrada usando trigonometria. Podemos usar a função tangente para encontrar o apótema. Assim, a fórmula resultante é a seguinte:
$latex A=\frac{{{a}^2}n}{4\tan(\frac{180}{n})}$
onde, a é o comprimento de um dos lados do polígono e n é o número de lados.
Exercícios resolvidos de área de polígonos regulares
As áreas dos seguintes polígonos regulares são encontradas usando as fórmulas vistas acima. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde você pode observar o processo utilizado.
EXERCÍCIO 1
Se um pentágono tem lados de 8 m de comprimento e um apótema de 5,5 m, qual é sua área?
Solução
Um pentágono é um polígono regular com cinco lados. Usamos a fórmula da área para polígonos regulares com comprimentos $latex l=8$ e $latex a=5.5$. Então temos:
$latex A=\frac{1}{2}nla$
$latex A=\frac{1}{2}(5)(8)(5,5)$
$latex A=110$
Portanto, a área do pentágono é de 110 m².
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um heptágono que tem lados de 8 m de comprimento e um apótema de 8,3 m?
Solução
O heptágono é um polígono regular com sete lados, então temos $latex n=7$. Além disso, temos os comprimentos $latex l=8$ e $latex a=8,3$. Então, usando a fórmula da área com esses valores, temos:
$latex A=\frac{1}{2}nla$
$latex A=\frac{1}{2}(7)(8)(8,3)$
$latex A=232,4$
Portanto, a área do heptágono é de 232,4 m².
EXERCÍCIO 3
Encontre a área de um hexágono que tem lados de 10 m.
Solução
O hexágono é um polígono regular com seis lados, então temos $latex n=6$. Neste caso, temos apenas o comprimento $latex l=10$. Então, usando a segunda fórmula da área temos:
$latex A=\frac{{{l}^2}n}{4\tan(\frac{180}{n})}$
$latex A=\frac{{{(10)}^2}(6)}{4\tan(\frac{180}{6})}$
$latex A=\frac{600}{4\tan(30)}$
$latex A=\frac{600}{2,31}$
$latex A=259,7$
Portanto, a área do hexágono é de 259,7 m².
EXERCÍCIO 4
Se um octógono tem lados de 5 m de comprimento, qual é sua área?
Solução
O octógono é um polígono regular de oito lados, então temos $latex n=8$. Semelhante ao exercício anterior, temos apenas o comprimento $latex l=5$. Então, usamos esses valores na segunda fórmula da área:
$latex A=\frac{{{l}^2}n}{4\tan(\frac{180}{n})}$
$latex A=\frac{{{(5)}^2}(8)}{4\tan(\frac{180}{8})}$
$latex A=\frac{200}{4\tan(22,5)}$
$latex A=\frac{200}{1,66}$
$latex A=120,5$
Assim, a área do octógono é de 120,5 m².
Exercícios de área de polígonos regulares para resolver
Aplique as fórmulas para a área de polígonos regulares para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e clique em «Verificar» para verificar se você acertou.
Veja também
Quer saber mais sobre figuras geométricas? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
