A velocidade instantânea na física descreve a velocidade e a direção de um objeto em um momento específico no tempo. Ela pode ser calculada usando o cálculo para encontrar a derivada da posição do objeto em relação ao tempo.
Neste artigo, vamos nos aprofundar na fórmula matemática e nos cálculos da velocidade instantânea. Também veremos alguns exemplos para aprender a calculá-la.
O que é velocidade instantânea em física?
A velocidade instantânea é a velocidade de um objeto em um instante ou ponto específico no tempo. Ela fornece uma medida mais detalhada e precisa do movimento de um objeto em comparação com a velocidade média.
A velocidade instantânea é diferente da velocidade média, a qual é o deslocamento total de um objeto em um determinado período, dividido pelo intervalo de tempo. Por outro lado, a velocidade instantânea refere-se respeito à taxa de deslocamento da posição de um objeto em um momento específico – pense nela como a velocidade e a direção de um objeto em um instante exato.
Uma maneira útil de visualizar a velocidade instantânea é imaginar que você está dirigindo um carro. O velocímetro indica a velocidade instantânea. Quando você acelera, desacelera ou muda de direção, o velocímetro mostra sua velocidade e direção naquele exato momento. Por outro lado, sua velocidade média seria a distância total percorrida dividida pelo tempo, o que não reflete necessariamente sua velocidade em um determinado momento da viagem.
Uma característica crucial da velocidade instantânea é que ela leva em conta a direção do movimento, tornando-a uma quantidade vetorial. Isso é importante porque significa que a velocidade pode ser positiva ou negativa, dependendo da direção do movimento do objeto.
Compreender a velocidade instantânea é fundamental porque ela desempenha um papel vital em vários aspectos da física, incluindo cinemática e dinâmica. Ela também é fundamental para o cálculo, onde é formalmente definida como a derivada da posição em relação ao tempo. Esse entendimento permite que os físicos prevejam as posições futuras de um objeto, calculem a aceleração e muito mais.
Fórmula e cálculo da velocidade instantânea
Matematicamente, a velocidade instantânea é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo em um determinado momento. No cálculo, é a derivada da função de posição com relação ao tempo ou, de forma equivalente, pode ser definida como o limite da velocidade média à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero.
Isso pode ser representado como:
$$v(t)= \lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{ \Delta s}{ \Delta t}$$
$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$
Onde:
- $latex v(t)$ é a velocidade instantânea
- $latex \frac{ds}{dt}$ é a derivada do deslocamento ($latex s$) em relação ao tempo ($latex t$)
- $latex \Delta t$ é a mudança no tempo
- $latex \lim\limits_{\Delta t\to 0}$ denota o limite à medida que $latex \Delta t$ se aproxima de zero
Essa fórmula tem origem no conceito de limite em cálculo. A velocidade média em um intervalo de tempo $latex \Delta t$ é dada por $latex \frac{\Delta s}{\Delta t}$, onde $latex \Delta s$ é a mudança de posição.
À medida que tornamos esse intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno (aproximando-se de zero), a velocidade média se torna a velocidade instantânea. É por isso que a velocidade instantânea é definida como a derivada da posição em relação ao tempo.
Cálculo da velocidade instantânea passo a passo
Agora, vamos discutir os passos para calcular a velocidade instantânea:
- Identifique a função de posição: A função de posição do objeto em movimento pode ser uma função linear simples, uma função quadrática ou qualquer outra função que represente a posição do objeto em momentos diferentes.
- Derivar a função de posição: Isso nos fornecerá a função de velocidade.
- Substitua o tempo específico: O resultado será a velocidade instantânea naquele momento específico no tempo.
É importante observar que, se a velocidade for negativa em um determinado momento, isso indica que o objeto estava se movendo na direção oposta naquele momento. Por outro lado, uma velocidade positiva significa movimento na direção positiva.
Velocidade instantânea – Exemplos com respostas
Para solidificar o entendimento da velocidade instantânea, vamos dar uma olhada em alguns exemplos com soluções detalhadas.
EXEMPLO 1
Suponha que um objeto esteja se movendo ao longo de uma reta conforme a função de posição $latex s(t) = 2t^2 + 3t + 1$, onde $latex s$ está em metros e $latex t$ está em segundos. Qual é a velocidade instantânea do objeto em $latex t = 2$ segundos?
Solução
Primeiro, precisamos derivar a função de posição com relação ao tempo para obter a função de velocidade. A derivada de $latex s(t)$ é:
$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$
$$v(t) = 4t + 3$$
Em seguida, substituímos $latex t = 2$ na função de velocidade:
$latex v(2) = 4\times 2 + 3$
$latex v(2) = 11 ~\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Portanto, a velocidade instantânea do objeto em $latex t = 2$ segundos é de 11 m/s.
EXEMPLO 2
Considere um carro se movendo ao longo de uma pista descrita pela função de posição $latex s(t) = 5t^3 – 7t + 9$, onde $latex s$ está em quilômetros e $latex t$ está em horas. Encontre a velocidade instantânea do carro em $latex t = 1$ hora.
Solução
Derivando a função de posição, obtemos a função de velocidade:
$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$
$latex v(t) = 15t^2 – 7$
Substituindo $latex t = 1$ na função de velocidade:
$latex v(1) = 15\times 1 – 7$
$latex v(1) = 8 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$
Então, a velocidade instantânea do carro em $latex t = 1$ hora é de 8 km/h.
EXEMPLO 3
Uma partícula está se movendo ao longo de um caminho definido pela função de posição $latex s(t) = 3t^2 – 2t + 5$, onde $latex s$ está em metros e $latex t$ está em segundos. Calcule a velocidade instantânea da partícula em $latex t = 3$ segundos.
Solução
Começamos encontrando a derivada de $latex s(t)$:
$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$
$latex v(t) = 6t – 2$
Substituindo $latex t = 3$ na função de velocidade:
$latex v(3) = 6\times 3 – 2$
$latex v(3) = 16 ~\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Assim, a velocidade instantânea da partícula em $latex t = 3$ segundos é de 16 m/s.
EXEMPLO 4
A posição de um trem é descrita pela função $latex s(t) = 4t^3 – 3t^2 + 2t – 1$, onde $latex s$ está em quilômetros e $latex t$ está em minutos. Qual é a velocidade instantânea do trem em $latex t = 2$ minutos?
Solução
A derivada da função de posição é:
$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$
$latex v(t) = 12t^2 – 6t + 2$
Substituindo $latex t = 2$ na função de velocidade:
$latex v(2) = 12\times 4 – 12 + 2 $
$latex v(2)= 34 ~\frac{\text{km}}{\text{min}}$
Portanto, a velocidade instantânea do trem em $latex t = 2$ minutos é de 34 km/min.
Aplicações da velocidade instantânea
A velocidade instantânea pode parecer um conceito reservado principalmente aos livros didáticos de física, mas tem inúmeras aplicações em nosso cotidiano. Vamos explorar algumas das mais comuns.
Exploração espacial
Na exploração espacial, é fundamental conhecer a velocidade instantânea de uma espaçonave. Os cálculos da velocidade instantânea permitem que os engenheiros tomem decisões em tempo real sobre ajustes de trajetória e velocidade. Isso é essencial na execução de manobras complexas.
Análise do movimento do veículo
No setor automotivo, o conceito de velocidade instantânea é fundamental nas fases de projeto e teste. Por exemplo, os testes de colisão precisam saber a velocidade exata no momento do impacto para analisar a eficácia das medidas de segurança.
Outro exemplo mais comum é o uso de velocímetros, pois eles indicam a velocidade instantânea de um carro em um momento específico.
Esportes e atletismo
Nos esportes, especialmente aqueles que envolvem bolas ou outros objetos que se movem rapidamente, conhecer a velocidade instantânea pode ser crucial. Por exemplo, no beisebol, a velocidade de um arremesso ou a velocidade de uma bola rebatida em qualquer momento específico pode afetar significativamente o resultado do jogo.
Os sistemas avançados de rastreamento fornecem esses dados, aprimorando tanto a estratégia quanto a experiência do espectador.
Velocidade instantânea na física teórica
Além de suas aplicações práticas, a velocidade instantânea também é um conceito fundamental na física teórica. Ela desempenha um papel fundamental no estudo do movimento e da dinâmica, da cinemática e da mecânica quântica.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
