Equação vetorial da reta com exercícios

Para encontrar a equação vetorial de uma reta, devemos começar encontrando o vetor posição de um ponto na reta ($latex \overrightarrow{OA}$) e o vetor direção ($latex \overrightarrow{AB}$) da reta.

Como o ponto $latex A$ tem coordenadas $latex (1,~ 2,~ 3)$, e o ponto $latex B$ tem coordenadas $latex (4, ~6, ~9)$, seu vetor de posição será:

$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$

Agora temos que encontrar o vetor de direção ($latex \vec{AB}$) da reta. Isso pode ser encontrado tomando a diferença entre os vetores de posição dos pontos A e B:

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}~ – ~\overrightarrow{OA}$$

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA} + t~\overrightarrow{AB}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1+3t \\ 2+4t \\ 3+6t \end{pmatrix}$$

Neste caso, conhecemos o vetor posição do ponto C na reta e o vetor direção ($latex \vec{d}$) da reta.

O vetor posição do ponto C com coordenadas $latex (2,~ -1, ~4)$ é:

$$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

O vetor de direção da reta é dado por:

$$\vec{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Agora, podemos escrever a equação vectorial da recta:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OC}+ t~\vec{d}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 2+4t \\ -1+5t \\ 4-2t \end{pmatrix}$$

Semelhante ao exercício anterior, conhecemos o vetor posição do ponto R na reta e o vetor direção ($latex \vec{e}$) da reta.

O vetor posição do ponto A com coordenadas $latex (5,~ -2, ~3)$ é:

$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Além disso, temos que o vetor de direção da reta é:

$$\vec{e} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Assim, podemos escrever a equação vetorial da reta usando esta informação:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA}+ t~\vec{e}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5+2t \\ -2-3t \\ 3+t \end{pmatrix}$$

Precisamos começar encontrando os vetores de posição ($latex \overrightarrow{OP}$) e ($latex \overrightarrow{OQ}$).

Como o ponto $latex P$ tem coordenadas $latex (-1,~ 3,~ 2)$, e o ponto $latex Q$ tem coordenadas $latex (3, ~7, ~-1)$, temos:

$$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Agora, vamos encontrar o vetor de direção ($latex \vec{PQ}$) da reta. Este vetor é igual à diferença entre os vetores posição dos pontos P e Q:

$$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} ~-~ \overrightarrow{OP}$$

$$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OP} + t~\overrightarrow{PQ}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -1+4t \\ 3+4t \\ 2-3t \end{pmatrix}$$

Começamos encontrando o vetor posição do ponto U com as coordenadas $latex (-3,~ 5, ~2)$:

$$\overrightarrow{OU} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Neste caso, o vetor de direção da reta é:

$$\vec{f} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Agora, escrevemos a equação vetorial da reta usando esta informação:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OU}+ t~\vec{f}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -3-t \\ 5+4t \\ 2+3t \end{pmatrix}$$

Os vetores de posição ($latex \overrightarrow{OS}$) e ($latex \overrightarrow{OT}$) são:

$$\overrightarrow{OS} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{OT} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Agora, vamos encontrar o vetor de direção ($latex \vec{ST}$) da reta:

$$\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OT} ~-~ \overrightarrow{OS}$$

$$\overrightarrow{ST} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Assim, a equação vetorial da reta é:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OS} + t~\overrightarrow{ST}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6+-6t \\ 4-6t \\ -1+4t \end{pmatrix}$$

Os vectores de posição dos pontos dados são:

$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

O vetor de direção ($latex \vec{AB}$) da reta é:

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Então, a equação vectorial da recta é:

$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA} + t~\overrightarrow{AB}$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix}$$

Para determinar se P está na reta, precisamos encontrar o valor de $latex t$. Comparando os componentes da equação vetorial e a posição do ponto, temos:

$latex 1=1$

$latex 2-t=3~~(t=-1)$

$latex -1+3t=1~~(t=\frac{2}{3})$

As duas últimas equações não são compatíveis, pelo que o ponto P não está na recta.

A equação vetorial para ($latex \overrightarrow{AB}$) foi encontrada no exercício anterior. Então, temos:

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix}$$

A linha $latex \overrightarrow{CD}$ é dada por $latex \vec{r}=\overrightarrow{OC}+s~\overrightarrow{CD}$. Então temos:

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$$

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -s\\ 1+2s \\ 2-6s \end{pmatrix}$$

As retas $latex \overrightarrow{AB}~$ e $latex ~\overrightarrow{CD}$ se cruzam se os parâmetros $latex s$ e $latex t$ satisfazem o seguinte:

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s\\ 1+2s \\ 2-6s \end{pmatrix}$$

Da primeira reta, temos $latex 1=-s$. Então, para que as retas se cruzem, devemos ter $latex s=-1$.

Da segunda fila:

$latex 2 − t = 1 + 2s$

$latex 2 − t = −1$

$latex t = 3$

Substituindo $latex s=-1$ e $latex t=3$ na terceira reta $latex −1 + 3t = 2 − 6s$, obtemos $latex 8 = 8$. Então, os valores de $latex s$ e $latex t$ satisfazem todas as três equações.

O ponto de interseção é encontrado substituindo $latex s=-1$ ou $latex t=3$ em $latex \overrightarrow{AB}~$ ou $latex ~\overrightarrow{CD}$ respectivamente.

O ponto de interseção é $latex (1,~ −1, ~8)$.