Reta tangente e reta normal à curva – Fórmulas e exemplos

Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função que representa a curva:

$latex f(x)=3x^2-3x$

$latex f'(x)=6x-3$

Passo 2: Avaliamos $latex f'(1)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (1, 3):

$latex m=f'(1)=6(1)-3$

$latex m=3$

Passo 3: O declive do passo 2 dá a equação $latex y=3x+b$. Então, usamos o ponto (1, 3) na equação para encontrar o valor de b:

$latex y=3x+b$

$latex 3=3(1)+b$

$latex b=0$

Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=3x$.

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

Passo 2: Avaliamos $latex f'(3)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (3, 2). Então temos:

$latex m_{1}=f'(3)=2(3)$

$latex m_{1}=6$

Passo 3: Usamos o declive da reta tangente para encontrar o declive da reta normal, o qual é $latex m=-\frac{1}{6}$.

Passo 4: Usando o declive da normal, temos a equação $latex y=-\frac{1}{6}x+b$. Agora, usamos o ponto (3, 2) na equação para determinar o valor de b:

$latex y=-\frac{1}{6}x+b$

$latex 2=-\frac{1}{6}(3)+b$

$latex b=\frac{5}{2}$

Passo 5: A equação da reta normal no ponto (3, 2) é $latex y=-\frac{1}{6}x+\frac{5}{2}$.

Passo 1: Para encontrar a derivada, usamos as leis dos expoentes para escrever a raiz quadrada como um expoente numérico:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Passo 2: Usando a derivada, avaliamos $latex f'(1)$ para encontrar o declive da reta tangente em (1, 3):

$$m=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m=\frac{5}{2}$

Passo 3: O declive do passo 2 dá a equação $latex y=\frac{5}{2}x+b$. Então, usamos o ponto (1, 3) na equação para encontrar o valor de b:

$$y=\frac{5}{2}x+b$$

$$3=\frac{5}{2}(1)+b$$

$latex b=\frac{1}{2}$

Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$.

Passo 1: Usamos as leis dos expoentes para escrever a função apenas com expoentes numéricos e, assim, calcular sua derivada:

$latex f(x)=x^3+8x^{-1}$

$latex f'(x)=x^2-8x^{-2}$

$latex f'(x)=x^2-\frac{8}{x^2}$

Passo 2: O declive da tangente em (2, 4) é encontrada avaliando $latex f'(2)$:

$latex m_{1}=f'(2)=(2)^2-\frac{8}{2^2}$

$latex =4-2$

$latex m_{1}=2$

Passo 3: Usamos o declive do passo 2 para determinar a inclinação da normal e temos $latex m=-\frac{1}{2}$.

Passo 4: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-\frac{1}{2}x+b$. Agora, usamos o ponto (2, -2) na equação para encontrar o valor de b,:

$latex y=-\frac{1}{2}x+b$

$latex -2=-\frac{1}{2}(2)+b$

$latex b=-1$

Passo 5: A equação da reta normal no ponto (2, 4) é $latex y=-\frac{1}{2}x-1$.

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

Passo 2: Não temos as coordenadas do ponto tangencial, mas sabemos que a reta é tangente no ponto onde a curva cruza o eixo y.

Quando uma função intercepta o eixo y, as coordenadas x são iguais a 0. Então, temos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Então o ponto é (0, 1). Agora, calculamos $latex f'(0)$ para encontrar o declive da tangente e temos:

$latex m=f'(0)=2(0)-3$

$latex m=-3$

Passo 3: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-3x+b$. Então, usamos o ponto (0, 1) na equação para encontrar o valor de b:

$latex y=-3x+b$

$latex 1=-3(0)+b$

$latex b=1$

Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é $latex y=-3x+1$.

Passo 1: A derivada da função trigonométrica dada é:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Passo 2: Avaliamos $latex f'(0)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (0, 1):

$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m_{1}=1+0$

$latex m_{1}=1$

Passo 3: O declive da reta normal é igual a $latex m=-1$.

Passo 4: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-x+b$. Então, usamos o ponto (0, 1) na equação para encontrar o valor de b:

$latex y=-x+b$

$latex 1=-0+b$

$latex b=1$

Passo 5: A equação da reta normal no ponto (0, 1) é $latex y=-x+1$.