A regra do quociente é um dos principais princípios usados no Cálculo Diferencial (ou Cálculo I). É comumente aplicada para derivar uma função que envolve a operação aritmética de divisão. A regra do quociente pode ser provada usando a espinha dorsal do Cálculo, os limites.
Neste artigo, exploraremos tudo sobre a regra do quociente. Abordaremos sua definição, fórmula e aplicações. Também veremos alguns exemplos e problemas práticos para aplicar os princípios da Regra do Quociente.
- A regra do quociente e sua fórmula
- Regra do quociente com três ou mais termos
- Prova da regra do quociente
- Quando usar a regra do quociente para encontrar derivadas
- Como usar a regra do quociente, um tutorial passo a passo
- Regra do quociente – Exemplos com respostas
- Regra do produto – Problemas de prática
- Veja também
A regra do quociente e a sua fórmula
O que é a regra do quociente?
A regra do quociente é uma regra que declara que se pode derivar um quociente de funções tomando o denominador g(x) multiplicado pela derivada do numerador f(x) subtraído do numerador f(x) multiplicado pela derivada do denominador g(x), tudo dividido pelo quadrado do denominador g(x).
A primeira função f(x) é o dividendo ou numerador do problema a ser derivado, enquanto a segunda função g(x) é o divisor ou denominador.
A fórmula da regra do quociente
A fórmula para a regra do quociente é:
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
onde
- $latex u =$ primeira função $latex f(x)$ ou o numerador/dividendo
- $latex v =$ segunda função $latex g(x)$ ou o denominador/divisor
Ou de outras formas, podemos escrever:
$$\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
ou
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
que é a forma mais comumente utilizada da fórmula de regra do quociente onde
$latex u = f(x)$
$latex v = g(x)$
e $latex \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})$ também pode ser $latex y’$, $latex F'(x)$, $latex \Upsilon’$ ou outras letras usadas para denotar funções com o símbolo apóstrofo.
Saiba mais sobre as provas da regra do quociente visitando o nosso artigo sobre Provas da regra do quociente.
Regra do quociente com três ou mais termos
Uma vez que mencionamos que a regra do quociente pode ser usada para obter um quociente de funções, e se houver três ou mais funções a dividir? Neste caso, em vez de ajustar a fórmula da regra do quociente, será mais eficiente aplicar simplesmente as regras algébricas para as fracções e depois continuar a utilizar as regras do produto e do quociente.
Por exemplo, temos
$$F(x) = \frac{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)}{\left( \frac{h(x)}{j(x)} \right)}$$
ou, de forma mais simples,
$$F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)}$$
Para derivar F(x), aplicamos primeiro as regras das fracções
$$\frac{\left( \frac{A}{B} \right)}{\left( \frac{C}{D} \right)} = \frac{AD}{BC}$$
Portanto, teremos
$$F(x) = \frac{sw}{uv}$$
E a partir desta equação, podemos derivar F(x) usando a regra do quociente e depois aplicar a regra do produto para derivar o numerador e denominador individualmente:
$$F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} = \frac{sw}{uv}$$
$$\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{d}{dx}\left( \frac{sw}{uv} \right)$$
$$\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{uv \cdot \frac{d}{dx}(sw) – sw \cdot \frac{d}{dx}(uv)}{(uv)^2}$$
Assim, a fórmula da regra do quociente para funções com múltiplas divisões $latex F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right )}$ é:
$$F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
Esta é uma fórmula mais eficiente e prática para derivar funções complexas de divisão múltipla.
Como utilizar a regra do quociente, um tutorial passo-a-passo
Suponhamos que temos de derivar
$$f(x) = \frac{\sin{(x)}}{x}$$
Como se pode ver, esta dada função é uma fracção, mas não pode ser dividida algébrica ou simplificada. Mas para derivar este problema, podemos utilizar a regra do quociente como se mostra nos passos seguintes:
1. Identificar o numerador/dividendo e denominador/divisor.
Denota-se o numerador/dividendo como $latex u$ e o denominador/divididor como $latex v$:
$latex u = \sin{(x)}$
$latex v = x$
2. Derivar $latex u$ e $latex v$ individualmente.
Neste caso, temos $latex u’ = \cos{(x)}$ e $latex v’ = 1$.
3. Aplicar a fórmula da regra do quociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x) \cdot (\cos{(x)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\sin{(x)}) \cdot (1)}{(x)^2}$$
4. Simplificar a derivada.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}$$
$$f'(x) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}$$
Para fins de formalidade, recomenda-se usar $latex f'(x), y’,$ ou $latex \frac{d}{dx}(f(x))$ como símbolo de derivada no lado esquerdo do final resposta derivada em vez de $latex (\frac{u}{v})’$ ou $latex \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})$.
Regra do quociente – Exemplos com respostas
EXEMPLO 1
Derivar a seguinte função:
$$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^3}$$
Solução
Passo 1: Identificar qual é o numerador/dividendo e qual é o denominador/divididor. O numerador/dividendo será denotado como $latex u$ enquanto o denominador/divididor será $latex v$.
Então, temos
$latex u = \sqrt[3]{x^2}$
$latex v = x^3$
Passo 2: Derivar $latex u$ e $latex v$ individualmente.
Então, temos
$latex u = \sqrt[3]{x^2}$
$latex u = x^{\frac{2}{3}}$
$latex u’ = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$
$latex v = x^3$
$latex v’ = 3x^2$
Passo 3: Substituir $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$
Passo 4: Simplificar algebricamente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{8}{3}} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 3x^{\frac{8}{3}})}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -\frac{7}{3x^{\frac{10}{3}}}$$
A resposta final é:
$$f'(x) = -\frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{10}}}$$
EXEMPLO 2
Encontrar a derivada da função dada:
$$f(x) = \frac{\cos{(x^3)}}{\sin{(x^3)}}$$
Solução
Passo 1: O numerador/dividendo será denotado como $latex u$ enquanto o denominador/divididor será $latex v$.
Assim, temos
$latex u = \cos{(x^3)}$
$latex v = \sin{(x^3)}$
Passo 2: Derivar $latex u$ y $latex v$ individualmente.
Assim, temos
$latex u = \cos{(x^3)}$
$latex u’ = -3x^2 \sin{(x^3)}$
$latex v = \sin{(x^3)}$
$latex v’ = 3x^2 \cos{(x^3)}$
Passo 3: Substituir $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}$$
Passo 4: Simplificar algebricamente e aplicar as identidades trigonométricas, se aplicável.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) =\frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 3x^2 \cos^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} [3x^2 (1-\sin^{2}{(x^3)})]}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (3x^2 – 3x^2\sin^{2}{(x^3)})}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} – 3x^2 + 3x^2\sin^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$ \frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -3x^2 \cdot \csc^{2}{(x^3)}$$
A resposta final é:
$latex f'(x) = -3x^2 \csc^{2}{(x^3)}$
EXEMPLO 3
Derivar a seguinte função:
$$f(x) = \frac{\ln{(x)}}{5^x}$$
Solução
Passo 1: Podemos escrever como se segue:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = 5^x$
Passo 2: Encontramos as derivadas de $latex u$ e $latex v$:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = 5^x$
$latex v’ = 5^x \ln{(5)}$
Passo 3: Utilizamos a regra do quociente com as expressões $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(5^x) \cdot (\frac{1}{x}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\ln{(x)}) \cdot (5^x \ln{(5)}}{(5^x)^2}$$
Passo 4: Simplificando, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 5^x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \frac{5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{x}}{25^x}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{5^x \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x x}$$
A resposta final é:
$$f'(x) = -\frac{5^x (1 – x \ln{(x)} \ln{(5)})}{25^x x}$$
EXEMPLO 4
Qual é a derivada da função dada?
$$ f(x) = \frac{\tan^{-1}{(x)}}{\cot^{-1}{(x)}}$$
Solução
Passo 1: O numerador/dividendo será denotado como $latex u$ enquanto o denominador/divididor será $latex v$:
$latex u = \tan^{-1}{(x)}$
$latex v = \cot^{-1}{(x)}$
Passo 2: Derivando $latex u$ e $latex v$, temos:
$latex u = \tan^{-1}{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x^2+1}$
$latex v = \cot^{-1}{(x)}$
$latex v’ = -\frac{1}{x^2+1}$
Passo 3: Substituir $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) =\frac{(\cot^{-1}{(x)}) \cdot \left(\frac{1}{x^2+1} \right) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\tan^{-1}{(x)}) \cdot \left(-\frac{1}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
Passo 4: Simplificar algebricamente e aplicar identidades trigonométricas inversas, se aplicável.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \left(-\frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} + \frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{(x^2+1) \cdot (\cot^{-1}{(x)})^2}$$
A resposta final é:
$$f'(x) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2 \left(\cot^{-1}{(x)})^2 + (\cot^{-1}{(x)})^2 \right)}$$
EXEMPLO 5
Derivar a seguinte função:
$$ f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}$$
Solução
Neste exemplo, tanto o nosso dividendo como o nosso divisor são fracções. Por conseguinte, devemos primeiro aplicar as regras da fracção antes de as derivar utilizando a fórmula do quociente:
$$f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}$$
Então, com isto vem a nossa fórmula de quociente para funções com múltiplas divisões:
$$F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
Passo 1: Uma vez que temos múltiplas divisões na nossa dada função, representaremos o numerador do dividendo como $latex s$, o denominador do dividendo como $latex u$, o numerador do divisor como $latex v$ e o denominador do divisor como $latex w$.
Assim, temos
$$f(x) = \frac{\frac{s}{u}}{\frac{v}{w}} = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}$$
Aplicando as regras das fracções:
$$f(x) = \frac{sw}{uv} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}$$
Assim, temos
$latex s = x$
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = x$
$latex w = e^x$
Passo 2: Derivar $latex s$, $latex u$, $latex v$ e $latex w$ individualmente.
Assim, temos
$latex s = x$
$latex s’ = 1$
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = x$
$latex v’ = 1$
$latex w = e^x$
$latex w’ = e^x$
Passo 3: Substituir $latex s$, $latex u$, $latex v$ e $latex w$ na fórmula da regra do quociente para funções com múltiplas divisões:
$$ F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left[(x \ln{(x)}) \cdot ((x) \cdot (e^x) + (e^x) \cdot (1)) \right] \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \left[(xe^x) \cdot \left((\ln{(x)}) \cdot (1) + (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) \right) \right]}{(x \ln{(x)})^2}$$
Passo 4: Simplificar algebricamente:
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{[(x \ln{(x)}) \cdot (xe^x + e^x)] \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} [(xe^x) \cdot (\ln{(x)} + 1)]}{(x \ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^2 e^x \ln{(x)} + xe^x \ln{(x)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (xe^x \ln{(x)} + xe^x)}{(x \ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x^2 e^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} – \left( \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x}{(x \ln{(x)})^2} \right)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} + \frac{e^x}{x \ln{(x)}} – \frac{e^x}{x \ln{(x)}} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{xe^x \ln{(x)}}{x(\ln{(x)})^2} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
A resposta final é:
$$f'(x) = \frac{xe^x \ln{(x)} – e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
Regra do quociente – Problemas de prática
Encontre a derivada da seguinte função e determine o valor de $latex f^{\prime}(1)$. $$f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
Interessado em saber mais sobre a regra do quociente? Pode visitar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
