Exercícios de diferenciação envolvendo o quociente de funções podem ser resolvidos usando a fórmula da regra do quociente. Esta fórmula nos permite derivar um quociente de funções como $latex \frac{f}{g} (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Aqui, veremos o resumo da regra do quociente. Além disso, exploraremos vários exemplos com respostas para entender a aplicação da fórmula da regra do quociente.
Resumo da regra do quociente
A regra do quociente é uma fórmula muito útil para derivar os quocientes das funções. É uma regra que declara que a derivada de um quociente de duas funções é igual à função no denominador g(x) multiplicada pela derivada do numerador f(x) subtraída do numerador f(x) multiplicada pela derivada do denominador g(x), tudo dividido pelo quadrado do denominador g(x).
Isto dá a seguinte fórmula para a regra do quociente:
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
ou de uma forma mais curta, pode ser ilustrado como:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
onde $latex u = f(x)$ é o numerador/dividendo do problema dado e $latex v = g(x)$ é o denominador/divisor do problema dado.
Pode utilizar qualquer uma destas duas formas da fórmula de regra do produto conforme a sua preferência.
Utilizamos esta fórmula para derivar funções com a seguinte forma:
$$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$
ou
$$F(x) = \frac{u}{v}$$
onde $latex f(x)$ ou $latex u$ é o numerador/divisor enquanto $latex g(x)$ e $latex v$ é o denominador/divisor do problema dado.
Regra do quociente – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Deriva o seguinte:
$$f(x) = \frac{x^3}{x-5}$$
Solução
Temos $latex x^3$ como numerador/dividendo e $latex x-5$ como denominador/divisor.
Com base na fórmula da regra do quociente, $latex u$ é o numerador e $latex v$ é o denominador. Por conseguinte, temos
$latex u = x^3$
$latex v = x-5$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, obtemos $latex u$ e $latex v$ individualmente e depois substituímos pela fórmula da regra do quociente abaixo:
$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$
$latex v = x-5$
$latex v’ = 1$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ pela fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x-5) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (1)}{(x-5)^2}$$
Simplificando algebricamente, temos
$$f'(x) = \frac{(3x^3 – 15x^2) – (x^3)}{(x^2-10x+25)}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{2x^3 – 15x^2}{x^2-10x+25}$$
EXERCÍCIO 2
Qual é a derivada do seguinte?
$$f(x) = \frac{6x^3}{\ln{(x)}}$$
Solução
Com base no dado, temos $latex 6x^3$ como numerador/dividendo e $latex \ln{(x)}$ como denominador/divisor. Portanto, temos
$latex u = 6x^3$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, obtemos $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u = 6x^3$
$latex u’ = 18x^2$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex v’ = \frac{1}{x}$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\ln{(x)}) \cdot (18x^2) – (6x^3) \cdot (\frac{1}{x})}{(\ln{(x)})^2}$$
Simplificando, temos
$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – \frac{6x^3}{x}}{(\ln{(x)})^2}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – 6x^2}{(\ln{(x)})^2}$$
EXERCÍCIO 3
Derivar a seguinte função:
$$f(x) = \frac{5x^5-x^4}{30x-12x^2}$$
Solução
$latex u$ é o numerador e $latex v$ é o denominador. Por conseguinte, temos
$latex u = 5x^5-x^4$
$latex v = 30x-12x^2$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, obtemos $latex u$ e $latex v$ individualmente e depois substituímos na fórmula da regra do quociente abaixo:
$latex u = 5x^5-x^4$
$latex u’ = 25x^4-4x^3$
$latex v = 30x-12x^2$
$latex v’ = 30-24x$
Usando a regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(30x-12x^2) \cdot (25x^4-4x^3) – (5x^5-x^4) \cdot (30-24x)}{(30x-12x^2)^2}$$
Simplificando, temos
$$f'(x) = \frac{(-300x^6+798x^5-120x^4) – (-120x^6+174x^5-30x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
$$f'(x) = \frac{-180x^6+624x^5-90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
$$f'(x) = \frac{-(180x^6-624x^5+90x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = -\frac{180x^6-624x^5+90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
EXERCÍCIO 4
Encontre a derivada da seguinte função:
$$f(x) = \frac{x^2}{e^{2x}}$$
Solução
Com base no dado, temos $latex u=x^2$ como numerador/dividendo e $latex v=e^{(2x)}$ como denominador/divisor. Portanto, temos
$latex u = x^2$
$latex v = e^{2x}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Os derivados de $latex u$ e $latex v$ são:
$latex u = x^2$
$latex u’ = 2x$
$latex v = e^{2x}$
$latex v’ = 2e^{2x}$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot (2x) – (x^2) \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$
Simplificando, temos:
$$f'(x) = \frac{(2xe^{2x}) – (2x^2 e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$
$$f'(x) = \frac{2xe^{2x}}{(e^{2x})^2} – \frac{2x^2 e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$
$$f'(x) = \frac{2x}{e^{2x}} – \frac{2x^2}{e^{2x}}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{2x – 2x^2}{e^{2x}}$$
EXERCÍCIO 5
Qual é a derivada de f(x)?
$$f(x) = \frac{\sin{(x)}}{\tan{(x)}}$$
Solução
$latex u$ é o numerador e $latex v$ é o denominador. Por conseguinte, temos
$latex u = \sin{(x)}$
$latex v =\tan{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, obtemos $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u = \sin{(x)}$
$latex u’ = \cos{(x)}$
$latex v=\tan{(x)}$
$latex v’ = \sec^{2}{(x)}$
Agora, podemos usar a fórmula da regra do quociente para derivar o nosso dado problema:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\sec^{2}{(x)}) – (\tan{(x)}) \cdot (\cos{(x)})}{(\tan{(x)})^2}$$
Simplificando algebricamente e aplicando as identidades trigonométricas, temos
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\frac{1}{cos^{2}{(x)}}) – (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\cos{(x)})}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\frac{1}{cos{(x)}}) – (\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \cdot \sec{(x)} – \sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{sec{(x)}}{\tan{(x)}} – \frac{\sin{(x)} \cos^{2}{(x)}}{\sin^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \left[\frac{\frac{1}{\cos{(x)}}}{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}}\right] – \left[\sin{(x)} \cdot \frac{cos^{2}{(x)}}{sin^{2}{(x)}}\right]$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\cos{(x)}}{\cos{(x)} \cdot \sin{(x)}} – \frac{cos^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{\sin{(x)}} – \frac{\sin^{2}{(x)}-1}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1 – \sin^{2}{(x)} – 1}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{-\sin^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$
E a resposta final é:
$latex f'(x) = -sin{(x)}$
EXERCÍCIO 6
Derivar a função f(x):
$$f(x) = \frac{\sqrt[5]{x^3}}{x^5+3x^2-4x}$$
Solução
Com base no dado, temos $latex u=\sqrt[5]{x^3}$ como numerador/dividendo e $latex v=x^5+3x^2-4x$ como denominador/divisor.
$latex u = \sqrt[5]{x^3}=x^{\frac{3}{5}}$
$latex v = x^5+3x^2-4x$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Em seguida, derivamos $latex u$ e $latex v$ individualmente e depois substituímos na fórmula da regra do quociente abaixo:
$$u = x^{\frac{3}{5}}$$
$$ u’ = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$$
$latex v = x^5+3x^2-4x$
$latex v’ = 5x^4+6x-4$
Agora, podemos usar a fórmula da regra do quociente para derivar o nosso dado problema:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^5+3x^2-4x) \cdot \left( \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}} \right) – \left(x^{\frac{3}{5}} \right) \cdot (5x^4+6x-4)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
Simplificando, temos:
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left( \frac{3}{5} x^{\frac{23}{5}}+\frac{9}{5} x^{\frac{8}{5}}-\frac{12}{5} x^{\frac{3}{5}} \right) – \left( 5x^{\frac{23}{5}}+6x^{\frac{8}{5}}-4x^{\frac{3}{5}} \right)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{22}{5} x^{\frac{23}{5}}-\frac{21}{5} x^{\frac{8}{5}}+\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{-22 x^{\frac{23}{5}} – 21 x^{\frac{8}{5}} + 8 x^{\frac{3}{5}}}{5}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{8 \sqrt[5]{x^3} -22 \sqrt[5]{x^{23}} – 21 \sqrt[5]{x^8}}{5(x^5+3x^2-4x)^2}$$
na forma radical
EXERCÍCIO 7
Qual é a derivada da função dada?
$$f(x) = \frac{\ln{(x)}}{\cos{(x)}}$$
Solução
Neste caso, temos:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, derivamos $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex v’ = -\sin{(x)}$
Depois de fazer isto, podemos usar a fórmula da regra do quociente para derivar o nosso dado problema:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot (\frac{1}{x}) – (\ln{(x)}) \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$
Simplificando a expressão obtida, temos:
$$f'(x) = \frac{(\frac{\cos{(x)}}{x}) – (-\sin{(x)} \ln{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$
$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \sin{(x)} \ln{(x)}}{(\cos{(x)})^2}$$
$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \frac{x \sin{(x)} \ln{(x)}}{x}}{\cos^{2}{(x)}}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{\cos{(x)} + x \sin{(x)} \ln{(x)} }{x \cos^{2}{(x)}}$$
EXERCÍCIO 8
Encontrar a derivada da função dada:
$$f(x) = \frac{x^3}{\sin^{2}{(x)}}$$
Solução
$latex u$ é o numerador e $latex v$ é o denominador, por isso temos
$latex u = x^3$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Agora, vamos derivar $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$
Simplificando algebricamente e aplicando algumas identidades trigonométricas, temos
$$f'(x) = \frac{(3x^2 \sin^{2}{(x)}) – (2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)})}{\sin^{4}{(x)}}$$
$$f'(x) = \frac{3x^2 \sin^{2}{(x)}}{\sin^{4}{(x)}} – \frac{2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)}}{\sin^{4}{(x)}}$$
$$f'(x) = \frac{3x^2}{\sin^{2}{(x)}} – \frac{2x^3 \cos{(x)}}{\sin^{3}{(x)}}$$
$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cdot \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin^{2}{(x)}}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cot{(x)} \csc^{2}{(x)}$$
EXERCÍCIO 9
Qual é a derivada da seguinte função?
$$f(x) = \frac{5x^x}{\cos{(3x)}}$$
Solução
Podemos observar o seguinte:
$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Encontrando as derivadas de $latex u$ e $latex v$, temos:
$latex u = 5x^x$
$latex u’ = 5x^x \ln{(x)} + 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex v’ = -3 \sin{(3x)}$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot (5x^x \ln{(x)} + 5x^x) – (5x^x) \cdot (-3 \sin{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$
Simplificando algebricamente e aplicando algumas identidades trigonométricas, obtemos
$$f'(x) =\frac{(5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)}) – (-15x^x \sin{(3x)})}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$f'(x) =\frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)} + 15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$f'(x) = \frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)}}{\cos^{2}{(3x)}}+ \frac{5x^x \cos{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}} + \frac{15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$ f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}+ 5x^x \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}} + 15x^x \cdot \frac{\sin{(3x)}}{\cos{(3x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \sec{(3x)} + 5x^x \sec{(3x)}+ 15x^x \sec{(3x)} \tan{(3x)}$$
EXERCÍCIO 10
Encontrar a derivada da função dada:
$$f'(x) = \frac{x^{e^x}}{e^{\sin{(x)}}}$$
Solução
Temos $latex x^{e^x}$ como numerador/dividendo e $latex e^{\sin{(x)}}$ como denominador/divisor. Portanto, temos
$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A seguir, derivamos $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u = x^{e^x}$
$latex u’ = x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex v’ = e^{\sin{(x)}} \cos{(x)}$
Substituindo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ e $latex v’$ na fórmula da regra do quociente, temos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}) – (x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$
Simplificando algebricamente e aplicando algumas identidades trigonométricas, obtemos
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x})}{(e^{\sin{(x)}})^2}– \frac{(x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x)}{x} – x^{e^x} \cos{(x)}}{e^{\sin{(x)}}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{x}}{e^{\sin{(x)}}}$$
$$f'(x) = \frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{xe^{\sin{(x)}}}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = \frac{x^{e^x} \left[ (e^x (x \ln{(x)} + 1)) – x \cos{(x)} \right]}{xe^{\sin{(x)}}}$$
Regra do quociente – Exercícios para resolver
Encontre a derivada da seguinte função e determine o valor de $latex f^{\prime}(1)$. $$f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
Interessado em saber mais sobre a regra do quociente? Pode visitar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
