A regra do produto é um dos princípios fundamentais aplicados no Cálculo Diferencial (ou Cálculo I). É comumente usada para derivar uma função que envolve a operação de multiplicação. A regra do produto pode ser provada usando um dos pilares do Cálculo, os limites.
Neste artigo, exploraremos tudo sobre a regra do produto. Abordaremos sua definição, fórmula e aplicações. Também veremos alguns exemplos e problemas práticos para aplicar os princípios da regra do produto.
- A regra do produto e a sua fórmula
- Como utilizar a regra do produto, um tutorial passo-a-passo
- Regra do produto – Exemplos com respostas
- Regra do produto – Problemas de prática
- Veja também
- A regra do produto e sua fórmula
- Provas da regra do produto
- Quando usar a regra do produto para encontrar derivadas
- Como usar a regra do produto, um tutorial passo a passo
- Regra do produto – Exemplos com respostas
- Regra do produto – Problemas de prática
- Veja também
A regra do produto e a sua fórmula
O que é a regra do produto?
A regra do produto é uma regra que declara que um produto de pelo menos duas funções pode ser derivado pela obtenção da soma de (a) primeira função na forma original multiplicada pela derivada da segunda função e (b) segunda função na forma original multiplicada pela derivada da primeira função.
A fórmula da regra do produto
A fórmula para a regra do produto é:
$$(fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$$
onde
$latex u =$ primeira função $latex f(x)$ ou primeira multiplicando
$latex v =$ segunda função $latex g(x)$ ou a segunda multiplicando
Ou de outra forma, pode ser escrita:
$$\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}(g'(x)) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$$
ou
$$\frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$$
que é a forma mais comumente utilizada da fórmula de regra do produto onde
$latex u = f(x)$
$latex v = g(x)$
e $latex \frac{d}{dx}(uv)$ também pode ser $latex y’$, $latex F'(x)$, $latex{\Upsilon}’$ ou outras letras usadas para denotar funções com o símbolo do apóstrofo.
Dê uma olhada em nosso artigo sobre provas da regra do produto para aprender como provar a regra do produto passo a passo.
A regra do produto para três ou mais funções
Veja este artigo para a regra do produto de três ou mais funções.
Como utilizar a regra do produto, um tutorial passo-a-passo
Suponhamos que temos de derivar
$latex f(x) = x^2 \sin{(x)}$
Como se pode ver, esta dada função tem dois multiplicadores, mas já não podem ser multiplicados algebricamente e simplificados. Então, podemos utilizar a regra do produto como se mostra nos passos seguintes:
1. Identificar os multiplicadores da função dada.
Neste caso, temos $latex u = x^2$ e $latex v = \sin{(x)}$.
2. Encontrar as derivadas de $latex u$ e $latex v$.
Neste caso, temos $latex u’ = 2x$ e $latex v’ = \cos{(x)}$.
3. Aplicar a fórmula de regra do produto.
$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (x^2) \cdot (\cos{(x)}) + (\sin{(x)}) \cdot (2x)$$
4. Simplificar a derivada.
$latex \frac{d}{dx}(uv) = x^2 \cos{(x)} + 2x \sin{(x)}$
$latex f'(x) = x^2 \cos{(x)} + 2x \sin{(x)}$
Para fins de formalidade, é recomendável usar $latex f'(x), y’,$ ou $latex \frac{d}{dx}(f(x))$ como símbolo de derivada no lado esquerdo da resposta final em vez de $latex (uv)’$ ou $latex \frac{d}{dx}(uv)$.
Regra do produto – Exemplos com respostas
EXEMPLO 1
Derivar a seguinte função:
$latex f(x) = x^3 (x-5)$
Solução
Passo 1: Na forma escolhida da fórmula da regra do produto, marcaremos o primeiro multiplicando como $latex u$ e o segundo multiplicando como $latex v$.
Assim, temos
$latex u = x^3$
$latex v = (x-5)$
Passo 2: Derive $latex u$ e $latex v$ individualmente:
$latex u’ = 3x$
$latex v’ = (1-0)$
Passo 3: Aplique a fórmula da regra do produto substituindo $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$.
$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (x^3) \cdot (1-0) + (x-5) \cdot (3x)$$
Passo 4: Simplificar algebricamente:
$latex \frac{d}{dx}(uv) = x^3 + 3x (x-5)$
$latex \frac{d}{dx}(uv) = x^3 + 3x^2 – 15x$
$latex f'(x) = x^3 + 3x^2 – 15x$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da seguinte função:
$latex f(x) = \sin{(x)} \tan{(x)}$
Solução
Passo 1: Na forma escolhida da fórmula da regra do produto, marcaremos o primeiro multiplicando como $latex u$ e o segundo multiplicando como $latex v$.
Assim, temos
$latex u = \sin{(x)}$
$latex v = \tan{(x)}$
Passo 2: Derive $latex u$ y $latex v$ individualmente:
$latex u’ = \cos{(x)}$
$latex v’ = \sec^{2}{(x)}$
Passo 3: Aplique a fórmula da regra do produto substituindo $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$:
$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) \cdot (\sec^{2}{(x)})+ (\tan{(x)}) \cdot (\cos{(x)})$$
Passo 4: Simplificar algebricamente e uma vez que temos uma função trigonométrica na nossa derivada, podemos também aplicar algumas identidades trigonométricas aplicáveis na nossa solução:
$$\frac{d}{dx}(uv) = \sin{(x)} \sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) (\frac{1}{\cos{(x)}})^2+ (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) (\frac{1^{2}}{\cos^{2}{(x)}})+ (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\frac{1}{\cos{(x)}})+ (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = \sec{(x)} \tan{(x)} + \sin{(x)}$$
$latex f'(x) = \sec{(x)} \tan{(x)} + \sin{(x)}$
EXEMPLO 3
Derivar a seguinte função:
$latex x^{2} \sin^{2}{(x)}$
Solução
Passo 1: Temos o primeiro multiplicando como $latex u$ e o segundo multiplicando como $latex v$.
Assim, temos
$latex u = x^{2}$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
Passo 2: Derive $latex u$ y $latex v$ individualmente:
$latex u’ = 2x$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$
Passo 3: Aplicar a fórmula da regra do produto, substituindo $latex u$, $latex u’$, $latex v$ e $latex v’$:
$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})+ (\sin^{2}{(x)}) \cdot (2x)$$
Passo 4: Simplificar algebricamente e uma vez que temos uma função trigonométrica na nossa derivada, podemos também aplicar algumas identidades trigonométricas aplicáveis na nossa solução:
$$\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})+ (\sin^{2}{(x)}) \cdot (2x)$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = 2x^{2} \sin{(x)} \cos{(x)} + 2x \sin^{2}{(x)}$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} (2 \sin{(x)} \cos{(x)}) + 2x \sin^{2}{(x)}$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \sin{(2x)} + 2x \sin^{2}{(x)}$$
$$\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \sin{(2x)} + 2x \sin^{2}{(x)}$$
EXEMPLO 4
Qual é a derivada de $latex f(x) = 5x^7 \cot{(x^7)}$?
Solução
Neste problema, temos dois multiplicadores na função f(x). O primeiro multiplicando é $latex u=5x^7$ e o outro é $latex v=\cot{(x^7)}$
Por conseguinte, temos
$latex u = 5x^7$
$latex v = \cot{(x^7)}$
$latex f(x) = uv$
Agora, podemos utilizar a fórmula de regra do produto:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^7)$$
Nota: A derivada de $latex u$ utiliza a fórmula de regra de potência e a derivada de $latex v$ utiliza a fórmula de regra de cadeia e a fórmula derivada para a função trigonométrica.
Aplicando a fórmula de regra do produto com as outras fórmulas derivadas a utilizar para $latex u’$ e $latex v’$, temos:
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot (-7x^6 \csc^{2}{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot (35x^6)$$
Simplificando algebricamente, obtemos
$$ \frac{d}{dx}f(x) = -35x^{13} \csc^{2}{(x^7)} + 35x^6 \cot{(x^7)}$$
E a resposta final é:
$$f'(x) = 35x^6 \cot{(x^7)} – 35x^{13} \csc^{2}{(x^7)}$$
EXEMPLO 5
Qual é a derivada de $latex f(x) = x^7 \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$?
Solução
Aqui, o primeiro multiplicando é $latex u=x^7$ e o segundo multiplicando é $latex v=\sin{(\sin^{-1}{(x)})}$.
Por conseguinte, temos
$latex u = x^7$
$latex v = \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$
$latex f(x) = uv$
Agora, utilizamos a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\sin{(\sin^{-1}{(x)})})+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot \frac{d}{dx}(x^7)$$
Nota: Neste problema, derivamos $latex u$ usando a fórmula da regra de potência e derivamos $latex v$ usando as fórmulas derivadas para a função trigonométrica e a função trigonométrica inversa.
Aplicando a fórmula de regra do produto, temos:
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (\cos{(\sin^{-1}{(x)})} (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}))+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot (7x^6)$$
Simplificando algebricamente e aplicando identidades e operações trigonométricas e trigonométricas inversas, obtemos
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (1) + 7x^6 \cdot (x)$$
E a resposta final é:
$latex f'(x) = 8x^7$
Regra do produto – Problemas de prática
Encontre a derivada da seguinte função e determine o valor de $latex F^{\prime}(0)$: $latex F(x) = \sin(x^2+2x)\cos(x)$?
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
