Regra do Produto das Derivadas – Exercícios Resolvidos

A primeira coisa a fazer é escrever a fórmula da regra do produto para a nossa referência:

$$\frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex \sqrt[5]{x^3}$ e o outro é $latex (x^5 + 3x^2 – 4x)$.

Por conseguinte, temos

$latex u = \sqrt[5]{x^3}$
$latex v = (x^5 + 3x^2 – 4x)$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos usar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (\sqrt[5]{x^3}) \cdot \frac{d}{dx}(x^5 + 3x^2 – 4x)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt[5]{x^3})$$

Para qualquer radical, é aconselhável reescrevê-los na forma de expoente fracionário:

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3)^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{d}{dx}(x^5 + 3x^2 – 4x)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot \frac{d}{dx}((x^3)^{\frac{1}{5}})$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3)^{\frac{1}{5}} \cdot (5x^4 + 6x – 4)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot (\frac{1}{5} \cdot (x^3)^{-\frac{4}{5}} \cdot 3x^2)$$

Simplificando algebricamente, obtemos

$$f'(x) = x^{\frac{3}{5}} \cdot (5x^4 + 6x – 4)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot (\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}})$$

$$f'(x) = 5x^{\frac{23}{5}} + 6x^{\frac{8}{5}} – 4x^{\frac{3}{5}}+ \frac{3}{5}x^{\frac{23}{5}} + \frac{9}{5}x^{\frac{8}{5}} – \frac{12}{5}x^{\frac{3}{5}}$$

$$f'(x) = \frac{28}{5}x^{\frac{23}{5}} + \frac{39}{5}x^{\frac{8}{5}} – \frac{32}{5}x^{\frac{3}{5}}$$

E a resposta final é:

$$f'(x) = \frac{28x^{\frac{23}{5}} + 39x^{\frac{8}{5}} – 32x^{\frac{3}{5}}}{5}$$

Ou em forma radical,

$$f'(x) = \frac{28\sqrt[5]{x^{23}} + 39\sqrt[5]{x^8} – 32\sqrt[5]{x^3}}{5}$$

Com base no dado, temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex (5x^5-x^4)$ e o outro é $latex (30x-12x^2)$.

Se $latex u$ é o primeiro multiplicando e $latex v$ é o segundo multiplicando, temos

$latex u = (5x^5-x^4)$
$latex v = (30x-12x^2)$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos usar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (5x^5-x^4) \cdot \frac{d}{dx}(30x-12x^2)+ (30x-12x^2) \cdot \frac{d}{dx}(5x^5-x^4)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (5x^5-x^4) \cdot (30-24x)+ (30x-12x^2) \cdot (25x^4-4x^3)$$

Simplificando algebricamente, temos

$$f'(x) = [-120x^6+174x^5-30x^4]+ [-300x^6+798x^5-120x^4]$$

$$f'(x) = -120x^6-300x^6+174x^5+798x^5-30x^4-120x^4$$

E a resposta final é:

$$ f'(x) = -420x^6+972x^5-150x^4$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex 6x^3$ e o outro é $latex \ln{(x)}$:

$latex u = 6x^3$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex f(x) = uv$

Usando a regra do produto, temos:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 6x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln{(x)}) + \ln{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(6x^3)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 6x^3 \cdot (\frac{1}{x}) + \ln{(x)} \cdot (18x^2)$$

Simplificando, temos

$$f'(x) = 6x^2 + 18x^2 \cdot \ln{(x)}$$

E a resposta final é:

$latex f'(x) = 6x^2 + 18x^2\ln{(x)}$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex 9x^3$ e o outro é $latex \sec{(\pi x)}$:

$latex u = 9x^3$
$latex v = \sec{(\pi x)}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos usar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 9x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\sec{(\pi x)})+ \sec{(\pi x)} \cdot \frac{d}{dx}(9x^3)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 9x^3 \cdot (\pi \sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)})+ \sec{(\pi x)} \cdot (27x^2)$$

Simplificando, temos

$$f'(x) = 9\pi x^3 \cdot (\sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)})+ 27x^2 \cdot \sec{(\pi x)}$$

E a resposta final é:

$$f'(x) = 9\pi x^3 \sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)}+ 27x^2 \sec{(\pi x)}$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex 5^x$ e o outro é $latex (x+5)^5$:

$latex u = 5^x$
$latex v = (x+5)^5$
$latex f(x) = uv$

Aplicando a regra do produto, temos:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5^x \cdot \frac{d}{dx}((x+5)^5)+ (x+5)^5 \cdot \frac{d}{dx}(5^x)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5^x \cdot (5 \cdot (x+5)^4 \cdot (1))+ (x+5)^5 \cdot (5^x \cdot \ln{(5)} \cdot (1))$$

Quando simplificamos, temos:

$$f'(x) = 5(x+5)^4 \cdot 5^x + (x+5)^5 \cdot \ln{(x)}$$

E a resposta final é:

$$f'(x) = 5(x+5)^4 \cdot 5^x + (x+5)^5 \ln{(x)}$$

Com base na pergunta, temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex 5x^7$ e o outro é $latex \cot{(x^7)}$.

Portanto, temos

$latex u = 5x^7$
$latex v = \cot{(x^7)}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos utilizar a fórmula de regra do produto para derivar o problema em questão:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^7)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot (-7x^6 \csc^{2}{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot (35x^6)$$

Podemos simplificar como se segue:

$$\frac{d}{dx}f(x) = -35x^{13} \csc^{2}{(x^7)} + 35x^6 \cot{(x^7)}$$

E a resposta final é:

$$f'(x) = 35x^6 \cot{(x^7)} – 35x^{13} \csc^{2}{(x^7)}$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex x^7$ e o outro é $latex \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$.

Por conseguinte, temos

$latex u = x^7$
$latex v = \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos usar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\sin{(\sin^{-1}{(x)})})+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot \frac{d}{dx}(x^7)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (\cos{(\sin^{-1}{(x)})} (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}))+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot (7x^6)$$

Simplificando algebricamente, aplicando identidades e operações trigonométricas e utilizando inversos trigonométricos, obtemos

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (1) + 7x^6 \cdot (x)$$

E a resposta final é:

$latex f'(x) = 8x^7$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex 5x^x$ e o outro é $latex \cos^{3}(x)$.

Por conseguinte, temos

$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos^{3}{(x)}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos utilizar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{3}{(x)}) + \cos^{3}{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^x)$$

Nota: Neste problema, a derivada de $latex u$ usa diferenciação implícita, enquanto a derivada de $latex v$ usa a fórmula de regra da cadeia e a fórmula derivada para a função trigonométrica.

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot (-3 \cos^{2}{x} \sin{x})+ \cos^{3}{(x)} \cdot (5x^x(\ln{(x)}+1))$$

Simplificando algebricamente, a resposta final é:

$$f'(x) = 5x^x(\ln{(x)}+1) \cos^{3}{(x)}– 15x^x \cos^{2}{x} \sin{x}$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex x^{e^x}$ e o outro é $latex e^{\sin(x)}$.

Portanto, temos

$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin(x)}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos utilizar a fórmula de regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sin(x)}+ e^{\sin(x)} \cdot \frac{d}{dx}(x^{e^x})$$

Nota: Neste problema, a derivada de $latex u$ utilizará diferenciação implícita, enquanto a derivada de $latex v$ utilizará fórmulas derivadas para funções exponenciais e trigonométricas.

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot (e^{sin(x)} \cos{(x)}) + e^{\sin(x)}\cdot (x^{e^x} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x}))$$

Simplificando algebricamente, a resposta final é:

$$f'(x) = x^{e^x} e^{sin(x)} \cos{(x)} \hspace{1.15 pt} + \hspace{1.15 pt} x^{e^x} e^{\sin(x)} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x})$$

Temos dois multiplicandos na função dada f(x). O primeiro multiplicando é $latex (x^3-2x)^3$ e o outro é $latex \cot^{-1}{(x^3-2x)}$.

Portanto, temos

$latex u = (x^3-2x)^3$
$latex v = \cot^{-1}{(x^3-2x)}$
$latex f(x) = uv$

Agora, podemos usar a fórmula da regra do produto para derivar o nosso problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(\cot^{-1}{(x^3-2x}))+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot \frac{d}{dx}((x^3-2x)^3)$$

Nota: Neste problema, a derivada de $latex u$ utilizará a fórmula da regra da cadeia, enquanto a derivada de $latex v$ utilizará a fórmula da derivada para uma função trigonométrica inversa e a regra de potência.

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot (-\frac{3x^2-2}{(x^3-2x)^2+1})+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot 3(x^3-2x)^2(3x-2)$$

Simplificando algebricamente, a resposta final é:

$$f'(x) = (x^3-2x)^2 (9x-6) \cot^{-1}{(x^3-2x)}– \frac{(x^3-2x)^3 (3x^2-2)}{(x^3-2x)^2+1}$$