Integrais Indefinidas – Exercícios Resolvidos

Começamos por formar uma integral com a função dada:

$latex \int 3x^2 dx$

Agora, podemos resolver esta integral através da aplicação do seguinte:

1. Adicionamos 1 unidade ao expoente de x.
2. Dividimos o termo pelo novo expoente (n+1).
3. Adicionamos a constante de integração.

Portanto, temos:

$$\int 3x^2 dx=\frac{3x^3}{3}+c$$

$$\int 3x^2 dx=x^3+c$$

À semelhança do exercício anterior, começamos por formar a integral com a função dada:

$latex \int 12x^5 dx$

Agora, aplicamos o seguinte:

1. Aumentamos o expoente de x em 1.
2. Dividimos a expressão pelo novo expoente.
3. Adicionamos a constante de integração.

Portanto, temos:

$$\int 12x^5 dx=\frac{12x^6}{6}+c$$

$$\int 12x^5 dx=2x^6+c$$

Neste caso, temos uma função racional. Então, podemos utilizar as leis dos expoentes para escrever como se segue:

$$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$

Agora, podemos formar a integral com esta função:

$latex \int x^{-3} dx$

Quando integramos a função, temos:

$$\int x^{-3} dx=\frac{x^{-2}}{-2}+c$$

$$\int x^{-3} dx=-\frac{1}{2x^2}+c$$

Para facilidade de resolução, começamos por escrever a função da seguinte forma:

$$f(x)=-\frac{1}{x^5}=-x^{-5}$$

Formando a integral indefinida, temos:

$latex \int -x^{-5} dx$

Resolvendo a integral, temos:

$$\int -x^{-5} dx=-\frac{x^{-4}}{-4}+c$$

$$\int -x^{-5} dx=\frac{1}{4x^4}+c$$

Formando a integral indefinida com a função dada, temos:

$latex \int x^2-5x+3 dx$

Neste caso, temos 3 termos. No entanto, podemos encontrar a sua integral aplicando o seguinte a cada termo:

1. Adicionar 1 ao expoente de x para cada termo.
2. Dividir cada termo pelo novo expoente.

Então, quando aplicamos isto e adicionamos a constante de integração, temos:

$$\int x^2-5x+3 dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x+c$$

Começamos por escrever a função como se segue:

$$f(x)=2x^6+\frac{8}{x^5}$$

$$f(x)=2x^6+8x^{-5}$$

Formando a integral indefinida, temos:

$latex \int 2x^6+8x^{-5} dx$

Resolvendo, temos:

$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}+\frac{8x^{-4}}{-4}+c$$

$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}-\frac{2}{x^4}+c$$

Temos uma raiz quadrada, por isso usamos as leis dos expoentes para escrever como se segue:

$$f(x)=3\sqrt{x}-4=3x^{\frac{1}{2}}-4$$

Formando uma integral com a função dada, temos:

$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx$$

Resolvendo isto, temos:

$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx=\frac{(2)3x^{\frac{3}{2}}}{3}-4x+c$$

$$=2x^{\frac{3}{2}}-4x+c$$

$$=2\sqrt{x^3}-4x+c$$

Utilizaremos as leis dos expoentes para escrever a função como se segue:

$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$f(x)=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$$

Formando uma integral com esta função, temos:

$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx$$

Na resolução, temos:

$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+2x^{\frac{1}{2}}+c$$

$$=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+2\sqrt{x}+c$$

Vamos escrever a função na seguinte forma, utilizando as leis dos expoentes:

$$f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}=4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2}$$

Formando um integral indefinida com a função, temos:

$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx$$

Resolvendo isto, temos:

$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx=\frac{(2)4x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2x^{-1}}{3(-1)}+c$$

$$=\frac{8}{3}\sqrt{x^3}+\frac{2}{3x}+c$$

Começamos por escrever a função como se segue:

$$f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$$

$$f(x)=2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}}$$

Quando formamos a integral, temos:

$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx$$

Na resolução, temos:

$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{(3)2x^{\frac{4}{3}}}{4}-(2)6x^{\frac{1}{2}}+c$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4}-12\sqrt{x}+c$$