Integrais de polinômios – Exercícios resolvidos

Para resolver este exercício, temos que começar formando a integral com o polinômio dado:

$latex \int 3x^2+1 dx$

Agora, podemos obter a integral considerando o seguinte:

1. O expoente de cada variável a ser integrada deve ser somado a 1.
2. Cada termo do polinômio deve ser dividido pelo novo expoente.

Aplicando isso, temos:

$$\int 3x^2+1 dx=\frac{3x^3}{3}+1x$$

Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:

$$\int 3x^2+1 dx=x^3+x+c$$

Começamos formando a integral com o polinômio dado:

$latex \int x^3+2x dx$

Agora, podemos resolver a integral do polinômio seguindo os passos abaixo.

1. Adicionamos 1 ao expoente de cada termo.
2. Cada termo deve ser dividido pelo novo expoente.

Então temos:

$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^2}{2}$$

Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:

$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+x^2+c$$

Formando a integral com a função polinomial dada, temos:

$latex \int -x^3-3x^2 dx$

Agora, aplicamos o seguinte:

1. Cada expoente da variável a ser integrada deve ser somado por 1.
2. Cada termo deve ser dividido pelo valor do novo expoente.

Então temos:

$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}$$

Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, obtemos:

$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-x^3+c$$

A integral a ser avaliada é:

$latex \int 5x^3-3x -2 dx$

Resolvemos a integral usando os seguintes passos:

1. Adicionamos 1 ao expoente de cada termo do polinômio.
2. Dividimos cada termo pelo novo expoente.

Aplicando isso, temos:

$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x$$

Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:

$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x+c$$

Formando a integral a ser avaliada, temos:

$latex \int 2x^3-6x^2+5x dx$

Agora, podemos aplicar o seguinte para resolver a integral:

1. O expoente de x de cada termo deve ser adicionado a 1.
2. Cada termo deve ser dividido pelo valor do novo expoente.

Quando aplicamos isso, temos:

$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{6x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}$$

Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:

$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{5x^2}{2}+c$$

A integral a ser avaliada é:

$latex \int 2x^4+3x^3-2x^2 dx$

Quando calculamos essa integral, temos:

$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}$$

Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:

$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+c$$

Podemos começar expandindo o binômio e simplificando a função polinomial dada:

$latex f(x)=3x^3+(x-2)^2$

$latex f(x)=3x^3+x^2-4x+4$

Formando a integral, temos:

$latex \int 3x^3+x^2-4x+4 dx$

Resolvendo a integral, temos:

$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+4x$$

Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:

$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x^2+4x+c$$

Expandindo o polinômio dado e simplificando, temos:

$latex f(x)=2x^3+(x+4)^2-2x^2$

$latex f(x)=2x^3+x^2+8x+16-2x^2$

$latex f(x)=2x^3-x^2+8x+16$

A integral a ser avaliada é:

$latex \int 2x^3-x^2+8x+16 dx$

Então temos:

$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{2}+16x$$

Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:

$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+4x^2+16x+c$$

Neste problema, precisamos encontrar a função da curva com uma derivada igual a $latex g(x)=4x^3-2$. Ou seja, temos que encontrar a integral da derivada dada.

Então, formando a integral a ser avaliada, temos:

$latex \int 4x^3-2 dx$

Resolvendo isso, temos:

$$\int 4x^3-2 dx=\frac{1}{4}4x^4-2x+c$$

$$\int 4x^3-2 dx=x^4-2x+c$$

Podemos determinar o valor da constante de integração usando o ponto $latex (-1, ~2)$. Então temos:

$latex y=x^4-2x+c$

$latex 2=(-1)^4-2(-1)+c$

$latex 2=1+2+c$

$latex c=-1$

Então a equação da curva é $latex y=x^4-2x-1$.

Neste caso, conhecemos a equação do declive da curva. No entanto, lembramos que o declive é igual à derivada da função.

Então, semelhante ao exercício anterior, vamos encontrar a integral de $latex 20x^4-10x$, já que a integral representa a equação da curva:

$latex \int 20x^4-10x dx$

Resolvendo essa integral, temos:

$$\int 20x^4-10x dx=\frac{20x^5}{5}-\frac{10x^2}{2}+c$$

$$\int 20x^4-10x dx=4x^5-5x^2+c$$

Se usarmos o ponto (1, 3), podemos determinar o valor da constante:

$latex y=4x^5-5x^2+c$

$latex 3=4(1)^5-5(1)^2+c$

$latex 3=4-5+c$

$latex c=4$

Então a equação da curva é $latex y=4x^5-5x^2+4$.