Derivadas e integrais de funções exponenciais

A função y=ex é chamada de função exponencial. A derivada da função exponencial ex é igual a ex. Isto também significa que a integral do ex é ex. Funções exponenciais compostas podem ser derivadas com a regra da cadeia.

A seguir, vamos aprender porque é que a derivada de ex é ex. Além disso, vamos aprender como resolver funções exponenciais compostas com alguns exercícios.

CÁLCULO
Fórmulas de derivadas e integrais de função exponencial

Relevante para

Aprender mais sobre derivadas e integrais de funções exponenciais.

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Porque é que a derivada de ex é ex?

A derivada da função exponencial ex é ex porque o declive da curva ex é igual a ex.

Podemos visualizar esta ideia considerando o gráfico da função $latex y=2^x$ mostrado abaixo:

Diagrama 2^x para derivadas de funções exponenciais

Os pontos $latex P(x,~y)$ e $latex Q(x+\delta x,~y+\delta y)$ são dois pontos próximos na curva $latex y=2^x$. Então, temos:

$latex y+\delta y=2^{x+\delta x}$

$latex \delta y=2^{x+\delta x}-y$

$latex =2^{x+\delta x}-2^x$

$latex \delta y=2^x(2^{\delta x}-1)$

Se dividirmos ambos os lados desta equação por $latex \delta x$, teremos:

$$\frac{\delta y}{\delta x}=2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Considerando que $latex \frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[\frac{\delta y}{\delta x}\right]$, temos:

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[ 2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\right]$$

$$=2^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Pegando valores bem pequenos de $latex \delta x$ e usando uma calculadora, temos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 0,693$$

Isso significa que a derivada de $latex 2^x$ é:

$$\dfrac{d}{dx}(2^x)\approx 0,693 \times 2^x$$

Se fizermos o mesmo para $latex 3^x$, teremos:

$$\frac{d}{dx}(3^x)=3^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Pegando valores bem pequenos de $latex \delta x$ e usando uma calculadora, temos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 1,099$$

$$\dfrac{d}{dx}(3^x)\approx 1,099 \times 3^x$$

Vemos que para $latex y=2^x$, o declive da curva ($latex \frac{dy}{dx}$) é menor que $latex y=2^x$ e no caso de $latex y =3^x$, o declive é maior que $latex y=3^x$.

Existe uma função exponencial $latex y=a^x$ cujo declive é igual a $latex y=a^x$. Este valor é $latex a=2,71828$ e é indicado pelo símbolo $latex e$.


Exercícios resolvidos de derivadas e integrais de funções exponenciais

EXERCÍCIO 1

Encontre a derivada da função $latex y=e^{3x}$.

Solução

EXERCÍCIO 2

Qual é a derivada da função $latex y=5e^{\frac{1}{x}}$?

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre a derivada da seguinte função:

$$y=\frac{2}{3+e^{3x}}$$

Solução

EXERCÍCIO 4

Resolva a seguinte integral:

$$\int 2e^{-x} dx$$

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre o resultado da seguinte integral:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx$$

Solução

EXERCÍCIO 6

Encontre a derivada da seguinte função:

$latex y=x^2e^x$

Solução

Derivadas e integrais de funções exponenciais – Exercícios para resolver

Prática de derivadas e integrais de exponenciais
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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