Derivadas e integrais de funções exponenciais

A função y=e^x é chamada de função exponencial. A derivada da função exponencial e^x é igual a e^x. Isto também significa que a integral do e^x é e^x. Funções exponenciais compostas podem ser derivadas com a regra da cadeia.

A seguir, vamos aprender porque é que a derivada de e^x é e^x. Além disso, vamos aprender como resolver funções exponenciais compostas com alguns exercícios.

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Porque é que a derivada de e^x é e^x?

A derivada da função exponencial e^x é e^x porque o declive da curva e^x é igual a e^x.

Podemos visualizar esta ideia considerando o gráfico da função $latex y=2^x$ mostrado abaixo:

Os pontos $latex P(x,~y)$ e $latex Q(x+\delta x,~y+\delta y)$ são dois pontos próximos na curva $latex y=2^x$. Então, temos:

$latex y+\delta y=2^{x+\delta x}$

$latex \delta y=2^{x+\delta x}-y$

$latex =2^{x+\delta x}-2^x$

$latex \delta y=2^x(2^{\delta x}-1)$

Se dividirmos ambos os lados desta equação por $latex \delta x$, teremos:

$$\frac{\delta y}{\delta x}=2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Considerando que $latex \frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[\frac{\delta y}{\delta x}\right]$, temos:

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[ 2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\right]$$

$$=2^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Pegando valores bem pequenos de $latex \delta x$ e usando uma calculadora, temos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 0,693$$

Isso significa que a derivada de $latex 2^x$ é:

$$\dfrac{d}{dx}(2^x)\approx 0,693 \times 2^x$$

Se fizermos o mesmo para $latex 3^x$, teremos:

$$\frac{d}{dx}(3^x)=3^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Pegando valores bem pequenos de $latex \delta x$ e usando uma calculadora, temos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 1,099$$

$$\dfrac{d}{dx}(3^x)\approx 1,099 \times 3^x$$

Vemos que para $latex y=2^x$, o declive da curva ($latex \frac{dy}{dx}$) é menor que $latex y=2^x$ e no caso de $latex y =3^x$, o declive é maior que $latex y=3^x$.

Existe uma função exponencial $latex y=a^x$ cujo declive é igual a $latex y=a^x$. Este valor é $latex a=2,71828$ e é indicado pelo símbolo $latex e$.

Exercícios resolvidos de derivadas e integrais de funções exponenciais

EXERCÍCIO 1

Encontre a derivada da função $latex y=e^{3x}$.

Solução

Sabemos que a derivada da função $latex y=e^x$ é $latex \frac{dy}{dx}=e^x$.

Então, usamos a regra da cadeia para derivar:

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x}(2x)^{\prime}$$

$$\frac{dy}{dx}=2 e^{2x}$$

EXERCÍCIO 2

Qual é a derivada da função $latex y=5e^{\frac{1}{x}}$?

Solução

Usando a regra da cadeia, temos:

$$\frac{dy}{dx}=5e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$$

$$=5e^{\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$$

EXERCÍCIO 3

Encontre a derivada da seguinte função:

$$y=\frac{2}{3+e^{3x}}$$

Solução

Podemos escrever a função da seguinte forma:

$latex y=2(3+e^{3x})^{-1}$

Agora, usamos a regra da cadeia:

$$\dfrac{dy}{dx}=-2(3+e^{3x})^{-2}(3+e^{3x})^{\prime}$$

$$=-2(3+e^{3x})^{-2}(3e^{3x})$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\frac{-6e^{3x}}{(3+e^{3x})^2}$$

EXERCÍCIO 4

Resolva a seguinte integral:

$$\int 2e^{-x} dx$$

Solução

Para resolver esta integral, notamos que a derivada de $latex e^{-x}$ é $latex -e^{-x}$. Então, temos:

$$\int 2e^{-x} dx =-2e^{-x}+c$$

EXERCÍCIO 5

Encontre o resultado da seguinte integral:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx$$

Solução

Podemos começar expandindo a expressão entre parênteses para obter:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx = \int (1-2e^{-3x}+e^{-6x}) dx$$

Então, temos:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx = x+\frac{2}{3}e^{-3x}-\frac{e^{-6x}}{6}+c$$

EXERCÍCIO 6

Encontre a derivada da seguinte função:

$latex y=x^2e^x$

Solução

Neste caso, podemos usar a regra do produto de derivadas e temos:

$$\dfrac{dy}{dx}=x^2(e^x)^{\prime}+e^x(x^2)^{\prime}$$

$$=x^2e^x+2xe^x$$

$$\dfrac{dy}{dx}=xe^x(x+2)$$