A Derivada do Seno é uma das primeiras funções transcendentais introduzidas no Cálculo Diferencial (ou Cálculo I). A derivada do seno é igual ao cosseno, cos(x). Esta derivada pode ser provada usando limites e as identidades trigonométricas.
Neste artigo, vamos aprender como derivar a função trigonométrica seno. Vamos aprender sobre sua fórmula, ver uma comparação gráfica do seno e sua derivada, e terminar com alguns exemplos.
Prova da derivada da função seno
A função trigonométrica seno de um ângulo é definida como a razão de um lado oposto a um ângulo em um triângulo retângulo para a hipotenusa. Ilustrando-o através de uma figura, temos
onde C é 90°. Para o triângulo retângulo de amostra, obter o seno do ângulo A pode ser calculado como
$latex \sin{(A)} = \frac{a}{c}$
onde A é o ângulo, a é o lado oposto e c é a hipotenusa do triângulo retângulo na figura.
Antes de aprender a prova da derivada da função seno, recomenda-se aprender o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao e o primeiro princípio dos limites como pré-requisitos.
Para revisar, qualquer função pode ser diferenciada definindo-a igual ao limite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Suponha que temos que encontrar a derivada de
$latex f(x) = \sin{(x)}$
temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$
Analisando nossa equação, vemos que o primeiro termo no numerador do limite é um seno da soma de dois ângulos x e h. Com essa observação, podemos tentar aplicar as identidades de soma e diferença para seno e cosseno, também chamadas de identidades ptolomaicas. Aplicando isso, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\sin{(x)}\cos{(h)} + \cos{(x)}\sin{(h)}) – \sin{(x)} }{h}}$$
Vamos tentar reorganizar o numerador.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)} + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
Levando em conta o primeiro e o segundo termos do nosso numerador rearranjado, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (\cos{(h)} – 1) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
Fazendo alguns arranjos algébricos, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (-(1-\cos{(h)})) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} + \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } + \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$
Como estamos calculando o limite em termos de h, todas as funções, exceto h, serão consideradas constantes. Reorganizando, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$
De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \cdot 1$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$
Já avaliamos o limite do último termo. No entanto, o primeiro termo ainda é impossível de ser avaliado definitivamente devido ao denominador $latex H$. Vamos tentar usar outra identidade trigonométrica e ver se o truque funcionará.
Podemos tentar usar a identidade de meio ângulo no numerador do primeiro termo.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$
Aplicando as regras da fração ao primeiro termo e reorganizando algebricamente mais uma vez, temos,
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} } }\right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) + \cos{(x)}$$
Temos um seno de uma variável sobre essa mesma variável. Neste caso, é $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ vezes $latex \frac{h}{2}$. Portanto, podemos novamente aplicar os limites das funções trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) + \cos{(x)}$$
Finalmente, conseguimos avaliar o limite do primeiro termo. Substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)} }\right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \cdot 0 + \cos{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \cos{(x)}$$
Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘seno’ é:
$$\frac{d}{dx} (\sin{(x)}) = \cos{(x)}$$
Gráfico de seno x vs. a derivada do seno x
Dada a função
$latex f(x) = \sin{(x)}$
o gráfico é ilustrado como
Derivando a função $latex f(x) = \sin{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = \cos{(x)}$
que é ilustrado graficamente como
Comparando seus gráficos, temos
Analisando os gráficos dessas funções, percebe-se que a função original $latex f(x) = \sin{(x)}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
enquanto a derivada $latex f'(x) = \cos{(x)}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
Exemplos
A seguir estão alguns exemplos de como derivar funções seno compostas.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada de $latex f(x) = \sin(4x)$?
Solução
Esta é uma função seno composta, onde temos o seno da função interna $latex 4x$. Então, podemos encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia.
Escrevendo a função interna como $latex u=5x$, temos $latex f(u)=\sin(u)$ e usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\cos(u) \times 4$$
Substituindo $latex u=4x$ de volta na função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=4\cos(4x)$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da função $latex F(x) = \sin{\left(2x^2+3 \right)}$.
Solução
Como é uma função seno composta, temos que usar a regra da cadeia para diferenciá-la.
Usando a substituição $latex u=2x^2+3$, podemos escrever a função original como $latex f (u) = \sin(u)$.
Depois, encontramos a derivada da função externa, ou seja, a função seno:
$$\frac{d}{du} ( \sin(u) ) = \cos(u)$$
Agora, encontramos a derivada da função interna $latex g(x)$ ou $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(2x^2+3)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 4x$$
Então aplicamos a regra da cadeia. Ou seja, multiplicamos a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 4x$$
Por fim, substituímos $latex u$ em $latex f'(u)$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \cos(2x^2+3) \cdot 4x$$
$$\frac{dy}{dx} = 4x\cos(2x^2+3)$$
EXEMPLO 3
Derivar a função $latex f(x) = \sin(\sqrt{x})$
Solução
Temos uma função seno composta, onde $latex u=\sqrt{x}$ é a função interna.
Para facilitar a resolução, podemos escrever $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$. Assim, a derivada $latex \frac{du}{dx}$ é:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, consideramos que $latex f(u)=\tan(u)$ e usamos a regra da cadeia:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\cos(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Usando $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\cos(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(\sqrt{x})$$
Prática de derivadas da função seno composta
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
