O derivada de cosseno é uma das principais derivadas do Cálculo Diferencial (ou Cálculo I). A derivada cosseno é igual a menos seno, -sin(x). Esta derivada pode ser provada usando limites e identidades trigonométricas.
Neste artigo, vamos aprender como derivar a função trigonométrica cosseno. Vamos explorar a sua fórmula, olhar para uma comparação gráfica do cosseno e sua derivada e resolver alguns exemplos.
Prova da derivada da função cosseno
A função trigonométrica cosseno de um ângulo é definida como a razão de um lado adjacente a um ângulo em um triângulo retângulo sobre a hipotenusa. Ilustrando-o através de uma figura, temos
onde C é 90°. Para o triângulo, a obtenção do cosseno do ângulo A pode ser avaliada como
$latex \cos{(A)} = \frac{b}{c}$
onde A é o ângulo, b é seu lado adjacente e c é a hipotenusa do triângulo retângulo na figura.
Antes de aprender a prova da derivada da função cosseno, é recomendado que você aprenda o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa e Cho-Sha-Cao, e o princípio dos limites como pré-requisitos.
Lembre-se de que qualquer função pode ser diferenciada definindo-a igual ao limite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Suponha que nos peçam para encontrar a derivada de
$latex f(x) = \cos{(x)}$
temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$
Analisando nossa equação, podemos ver que o primeiro termo no numerador do limite é um cosseno da soma de dois ângulos x e h. Com essa observação, podemos tentar aplicar as identidades de soma e diferença para cosseno e seno, também chamadas de identidades ptolomaicas. Aplicando isso, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\cos{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)}\sin{(h)}) – \cos{(x)} }{h}}$$
Vamos tentar reorganizar o numerador,
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}\cos{(h)} – \cos{(x)} – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
Levando em conta o primeiro e o segundo termos do nosso numerador rearranjado, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}(\cos{(h)} – 1) – \sin{(x)}\sin{(h)}) }{h}}$$
Fazendo alguns arranjos algébricos, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)} (-(1-\cos{(h)})) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} – \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } – \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$
Como estamos calculando o limite em termos de h, todas as funções, exceto h, serão consideradas constantes. Reorganizando, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$
De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \cos(\theta)$ para $latex \theta$ quando $latex \theta $ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \cos(h)$ sobre $latex H$. Aplicando, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \cdot 1$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
Já avaliamos o limite do último termo. No entanto, o primeiro termo ainda é impossível de ser avaliado definitivamente devido ao denominador $latex H $. Vamos tentar usar outra identidade trigonométrica e ver se o truque funcionará.
Podemos tentar usar a identidade de meio ângulo no numerador do primeiro termo.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$
Aplicando as regras da fração ao primeiro termo e reorganizando algebricamente mais uma vez, temos,
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) – \sin{(x)}$$
Como você notará mais uma vez, temos um seno de uma variável sobre essa mesma variável. Neste caso, é $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Portanto, podemos novamente aplicar os limites das funções trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) – \sin{(x)}$$
Finalmente, conseguimos avaliar o limite do primeiro termo. Avaliando substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }\right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)}} \right) – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) – \sin(x)$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \cdot 0 – \sin{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)}$$
Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘coseno’ é:
$$\frac{d}{dx} (\cos{(x)}) = -\sin{(x)}$$
Gráfico do cosseno de x vs. a derivada do cosseno de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \cos{(x)}$
é
Diferenciando para a função $latex f(x) = \cos{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = -\sin{(x)}$
que é ilustrado graficamente como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Analisando essas funções por meio desses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos(x)$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
enquanto a derivada $latex f ‘(x) = -\sin(x)$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
Exemplos
Aqui estão alguns exemplos de uso do primeiro ou segundo método para derivar uma função cosseno.
EXEMPLO 1
Encontre a derivada de $latex f(x) = \cos(6x)$
Solução
A função cosseno dada é uma função composta, onde $latex 6x $ é uma função interna. Isto significa que temos de usar a regra da cadeia.
Se considerarmos $latex u=5x$ como a função interna, temos $latex f(u)=\cos(u)$. Então, usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(u) \times 6$$
Substituindo $latex u=6x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-6\sin(6x)$$
EXEMPLO 2
Qual é a derivada de $latex F(x) = \cos(4x^2+5 )$?
Solução
Temos uma função cosseno composta, por isso vamos usar a regra da cadeia.
Podemos expressar a função cosseno como $latex f (u) = \cos(u)$, onde $latex u = 4x^2+5$.
Então, a derivada da função externa $latex f(u)$ é:
$$\frac{d}{du} ( \cos(u)) = -\sin(u)$$
Agora, encontramos a derivada da função interna $latex g(x)$ ou $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(4x^2+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 8x$$
A regra da cadeia nos diz que multiplicamos a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$. Então,
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot 8x$$
Finalmente, substituímos $latex u$ por $latex f'(u)$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(4x^2+5) \cdot 8x$$
$$\frac{dy}{dx} = -8x\sin(4x^2+5)$$
EXEMPLO 3
Derivar a função $latex f(x) = \cos(\sqrt{x})$
Solução
Para usar a regra da cadeia, consideramos $latex u=\sqrt{x}$ como a função interna.
Em seguida, reescrevemos $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ para facilitar o problema. Assim, a derivada $latex \frac{du}{dx}$ é:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, escrevemos $latex f(u)=\cos(u)$ e usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Usando $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin(\sqrt{x})$$
Prática de derivadas de funções cosseno compostas
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
