Área entre duas curvas – Exercícios resolvidos

Podemos começar por encontrar os pontos de intersecção das curvas para determinar os limites da região. Então, temos:

$latex x^2+1=-x^2+3$

$latex 2x^2=2$

$latex x=\pm 1$

Podemos traçar um gráfico para visualizar a área necessária:

A área da região pode ser obtida subtraindo a área sob a curva $latex y=x^2+1$ da área sob a curva $latex y=-x^2+3$. Então, temos:

$$A=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) dx-\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) – (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-2x^2+2) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+2x \right]_{-1}^{1}$$

$$=\left[ -\frac{2}{3}+2 \right]-\left[ \frac{2}{3}-2 \right]$$

$$=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

$$=\frac{8}{3}$$

A área da região de intersecção das duas curvas é $latex \frac{8}{3}$.

À semelhança do exercício anterior, temos de começar por encontrar os pontos de intersecção da reta e a curva. Então, temos:

$latex x+3=-\frac{1}{3}x^2+3$

$latex \frac{1}{3}x^2+x=0$

$latex x(\frac{1}{3}x+1)=0$

$latex x=-3~~$ ou $latex ~~x=0$

Agora, podemos traçar um gráfico para visualizar a área necessária:

Depois, vemos que a área da região é dada pela área da reta menos a área da curva. Ou seja, temos:

$$A=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right)dx-\int_{-3}^{0} (x+3 )dx $$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right) – (x+3)dx$$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2-x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0}$$

$$=\left[ -\frac{0^3}{9}-\frac{0^2}{2} \right]-\left[ -\frac{(-3)^3}{9}-\frac{(-3)^2}{2} \right]$$

$$=-\left[ 3-\frac{9}{2} \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

A área da região de intersecção das duas curvas dadas é 1,5.

Encontrando os pontos de intersecção da linha recta e da curva, temos:

$latex x+4=x^2-3x-1$

$latex x^2-4x-5=0$

$latex (x-5)(x+1)=0$

$latex x=5~~$ ou $latex ~~x=-1$

Quando traçamos um gráfico, temos o seguinte:

Vemos que a área requerida é igual à área sob a reta menos a área sob a curva. Então, temos:

$$A=\int_{-1}^{5} (x+4 )dx-\int_{-1}^{5} (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (x+4)- (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (-x^2+4x+5) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+2x^2+5x \right]_{-1}^{5}$$

$$=\left[ -\frac{(5)^3}{3}+2(5)^2+5(5) \right]-\left[ -\frac{(-1)^3}{3}+2(-1)^2+5(-1) \right]$$

$$=\left[ -\frac{125}{3}+50+25 \right]-\left[ \frac{1}{3}+2-5 \right]$$

$$=\frac{100}{3} +\frac{8}{3}$$

$$=\frac{108}{3} $$

$$=36$$

A área entre as duas curvas dadas é 36.

Começamos por encontrar os pontos de intersecção:

$$x^2+2x+2=-x^2+2x+10$$

$latex 2x^2-8=2$

$latex x=\pm 2$

Traçando um gráfico, temos:

Podemos encontrar a área da região requerida da seguinte forma:

$$A=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) dx-\int_{-2}^{2} (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) – (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-2x^2+8) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+8x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ -\frac{16}{3}-16 \right]-\left[ \frac{16}{3}-16 \right]$$

$$=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}$$

$$=\frac{64}{3}$$

A área da região requerida situada entre as curvas é $latex \frac{64}{3}$.

Começamos por encontrar os pontos de intersecção das curvas:

$latex x^2+2=-x^2+3$

$latex 2x^2=1$

$latex x=\pm \sqrt{0,5}$

Quando traçamos um gráfico, temos:

Podemos determinar a área da região requerida da seguinte forma:

$$A=\int_{-\sqrt{0,5}}^{\sqrt{0,5}} (-x^2+3) dx-\int_{\sqrt{0,5}}^{\sqrt{0,5}} (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0,5}}^{\sqrt{0,5}} (-x^2+3) – (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0,5}}^{\sqrt{0,5}} (-2x^2+1) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+x \right]_{-\sqrt{0,5}}^{\sqrt{0,5}}$$

$$=\left[ -\frac{\sqrt{0,5}}{3}+\sqrt{0,5} \right]-\left[ \frac{\sqrt{0,5}}{3}-\sqrt{0,5} \right]$$

$$=0,4714+0,4714$$

$$=0,9428$$

A área entre as duas curvas dadas é de $latex 0,9428$.

Os pontos de intersecção são encontrados da seguinte forma:

$latex x^2-2x-3=x+1$

$latex x^2-3x-4=0$

$latex (x-4)(x+1)=0$

$latex x=4~~$ ou $latex ~~x=-1$

Depois, temos o seguinte gráfico:

Neste caso, parte da área requerida está sob o eixo x. No entanto, a área da região pode ser calculada utilizando o mesmo método. Portanto, temos:

$$A=\int_{-1}^{4} (x+1) dx-\int_{-1}^{4} (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (x+1) – (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (-x^2+3x+4) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x \right]_{-1}^{4}$$

$$=\left[ -\frac{64}{3}+24+16 \right]-\left[ \frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4 \right]$$

$$=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}$$

$$=\frac{125}{6}$$

A área da região requerida é $latex \frac{125}{6}$.

Neste caso, não temos de encontrar os pontos de intersecção, uma vez que está especificado que temos de encontrar a área de $latex x=-2$ a $latex x=2$.

Ao traçar um gráfico, podemos visualizar esta área:

Agora, vemos que a área necessária é dada pela área da curva cúbica menos a área da curva quadrática:

$$A=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right)dx-\int_{-2}^{2} (x^2-3 )dx $$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right) – (x^2-3)dx$$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x^2-x+4\right) dx$$

$$=\left[ \frac{x^4}{16}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+4x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ 1-\frac{8}{3}-2+8 \right]-\left[ 1+\frac{8}{3}-2-8 \right]$$

$$=\frac{13}{3}+\frac{19}{3}$$

$$=\frac{32}{3}$$

A área da região de intersecção das duas curvas dadas é de 10,67.

À semelhança do exercício anterior, não temos de encontrar os pontos de intersecção, uma vez que conhecemos os limites da integração. Depois, traçando um gráfico, temos:

Vemos que a área necessária é igual à área da curva quadrática menos a área da curva cúbica:

$$A=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right)dx-\int_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right) dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right) – \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right)dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}x^3-x^2+4x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{3}+2x^2 \right]_{0}^{2}$$

$$=\left[ -2-\frac{8}{3}+8 \right]-\left[ 0 \right]$$

$$=\frac{10}{3}$$

A área da região de intersecção das duas curvas dadas é 3,33.